¿Un número complejo con parte imaginaria trascendental es trascendental?

Question

¿Un número complejo que tiene parte real trascendental es siempre trascendental? ¿Y en el caso de la parte imaginaria?

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta, "¿Un número complejo que tiene parte real trascendental es siempre trascendental?" es sí, ya que el conjugado de un número algebraico $r$ es una raíz del mismo polinomio que atestigua que $r$ es algebraico. Pero entonces la suma de $r$ y su conjugado complejo (el doble de la parte real) es también algebraico -- los números algebraicos forman un campo, por lo que son cerrados bajo adición, multiplicación, inversiones...

Del mismo modo, si la parte imaginaria de un número es trascendental, entonces el número es trascendental, por esencialmente el mismo argumento (ahora se consideraría la diferencia entre $r$ y su conjugado).

Por otro lado, si la parte real de un número es trascendental, no podemos concluir que la parte imaginaria también lo sea. Por ejemplo, miremos $\pi$ o $\pi+i$ . Del mismo modo, si la parte imaginaria es trascendental, no podemos concluir nada sobre la parte real.

Answer 2

Sí, porque el conjunto de los números algebraicos es cerrado bajo la conjugación compleja, la suma y la multiplicación.