Este es un problema en la mecánica cuántica cuando se considera un potencial lineal; en el lenguaje de la física la ecuación se escribiría como
$$ \frac {d^2 \psi }{dx^2} + \frac {2m}{ \hbar ^2}(E-ax) \psi = 0,$$ con $V(x) = ax$ .
Lo he estado mirando por un tiempo y no encuentro una solución, y pensé en pedir una pista antes de ir corriendo a la W|A por ayuda. Descargo de responsabilidad: No tengo ni idea de si existe una solución de forma cerrada.
Lo primero que pensé es intentar una expansión en serie, pero la relación de recurrencia entre los coeficientes es bastante fea. Entonces intenté una transformación de Fourier. No tengo razones para pensar que la solución será integrable en $ \mathbb {R}$ pero como físico he sido entrenado para no preocuparme por esas cosas.
Configuración
$$ \phi (k) = \frac1 { \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^ \infty \psi (x)e^{-ikx}\ dx $$
obtenemos la ecuación
$$ \frac {d \phi }{dk} - \frac {i}{a} \left ( \frac { \hbar ^2 k^2}{2m}-E \right ) \phi = 0$$
que se resuelve fácilmente para conseguir
$$ \large \phi (k) = Ae^{- \frac {ik}{a}( \frac { \hbar ^2 k^2}{6m}-E)}$$
que no sólo no puede ser transformada por Fourier ya que no va a cero al infinito, sino que tampoco tengo idea de cómo integrarla.
Así que esto es lo más lejos que llegué. ¿Alguien sabe cómo resolver esta ecuación, y si no hay una forma cerrada (lo cual sospecho), cómo obtener una buena serie o algo así?
