¿Qué representan las integrales en el plano 2D y en el espacio 3D?

Question

Sabemos que si una función de valor real $f$ es continua en un intervalo $[a,b]$ entonces la siguiente integral $$\int_a^bf(x)dx$$ representa el área entre la línea horizontal $y=0$ y la curva de $f$ , verticalmente entre las líneas $x=a$ y $x=b$ . Así que lo que representa lo siguiente $$\int_{[a,b]\times [c,d]}g(x,y)dxdy$$ y $$\int_{[a,b]\times [c,d]\times [e,f]}h(x,y,z)dxdydz$$ donde $g$ y $h$ son dos funciones continuas de valor real 2d y 3d. Gracias

Answer 1

Karimath, puedo contribuir.

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La integral 1D puede utilizarse para calcular el área. Por ejemplo, si queremos calcular un área delimitada por $y=f(x)$ y $y=0$ en $x \in [a, b]$ , entonces podemos hacer una aproximación con :

$$ A \approx \sum_{i=0}^{N} |f(x_{i})-0| \triangle x, \:\:\: \triangle x = \frac{b-a}{N} $$

$N$ es el número de rectángulos, $\triangle x$ siendo la anchura de cada rectángulo $i$ y $f(x_{i})$ es la altura del rectángulo $i$ .

Si tomamos otros tantos rectángulos, obtenemos $$ A = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{N} |f(x_{i})-0| \triangle x, \:\:\: \triangle x = \frac{b-a}{N} $$ que se define de otra manera por $$ A = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

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La integral 2D es similar. Se puede aproximar el volumen delimitado por la superficie $z=f(x,y)$ y $z=0$ en la región $R : a < x < b, \:\: c < y<d$ , por :

$$ V \approx \sum_{j=0}^{N} \sum_{i=0}^{M} |f(x_{i},y_{j})-0| \triangle x \triangle y, \:\:\: \triangle x = \frac{b-a}{M}, \: \: \: \triangle y = \frac{d-c}{N} $$ Observe que $$ |f(x_{i}, y_{j})| \triangle x \triangle y$$ es el volumen del pequeño cubo con centro en la posición $(x_{i}, y_{j})$ , $\triangle x \triangle y$ siendo el área del cuadrado pequeño el suelo del cubo.

Tomando el mayor número posible de cubos muy pequeños, obtenemos el Volumen

$$ V = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$

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Para el 3D, es un poco diferente. La función $h(x,y,z)$ es una cantidad que se puede medir. El $\triangle x \triangle y \triangle z$ es el pequeño volumen en el que un valor $h(x_{i},y_{j},z_{k})$ retiene. Conecta esto con el comentario de @TrevorNorton.

Answer 2

La integral doble, representa la suma de las áreas infinitas bajo las curvas $g(x,y)$ con $x=constant$ definido como: $$A(y)=\int{g(x,y)\,dx}$$ cada uno entre $y$ y $y+dy$ que le da un volumen. (ver Fubini (explicación de la empresa)

La última integral te da la suma infinita de los volúmenes $V(z)$ definido como $$V(z)=\int\int{h(x,y,z)\,dxdy}$$ que te da un hipervolumen.

Imagina que si la función $h$ es una esfera el número $\int V(z) \,dz$ será la suma de todos los volúmenes de las infinitas esferas de radio $z$ entre el intervalo de integración $[z_1,z_2]$

Answer 3

Las integraciones de dos variables se refieren al volumen encerrado por la superficie, el $xy$ -y los planos perpendiculares a $xy$ -plano que pasa por $x=a$ a $x=b$ y $y=c$ a $y=d$ en el caso de:

$$\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}{g(x,y)dxdy}$$

Por analogía, las integraciones de tres variables se refieren a la hipervolumen o el análogo 4D de nuestro volumen 3D habitual. Esto es difícil de visualizar para los seres humanos, ya que sólo somos capaces de interactuar y comprender un mundo en 4D. Sin embargo, como el volumen en el caso anterior se considera encerrado por superficies planas, el hipervolumen puede describirse como encerrado por superficies 3D.

Podemos considerar

$$\int_{z=e}^{z=f}\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=a}^{x=b}{h(x,y,z)dxdydz}$$

como el hipervolumen encerrado entre ellos:

1. El $xyz$ -espacio en $w=0$
2. La curva 4D $w=h(x,y,z)$
3. El $yzw$ -espacios en $x=a$ y $x=b$
4. El $xzw$ -espacios en $y=c$ y $y=d$
5. El $xyw$ -espacios en $z=e$ y $z=f$