Mostrar que si cada bola cerrada de un espacio métrico $(X, d)$ es completa, a continuación, $ X$ es completa.
Pensé que la siguiente: dado $(x_n)$ una secuencia de Cauchy en $X$, tenemos que el conjunto de $A= \{x_{1}, x_{2},..., x_{n},...\} $ es acotado, es decir, $ diam(A) < M $ algunos $ M \in \mathbb {R}$ por lo Tanto, para cualquier $ n_{0}\in \mathbb {N}$, $ A \subset B [x_{n_{0}}, M]$ a partir De la hipótesis sabemos que cada bola cerrada es completa y por eso $ x_{n} \rightarrow x \in B [x_{n_{0}}, M] \subset X $ $ X $ es completa.
Por alguna razón, no estoy completamente seguro de que mi prueba es correcta, podría alguien decirme qué te parece?
