Cómo demostrar esta desigualdad $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2$

Question

Dejar $x\ge y\ge z\ge 0$ demuestran que $$\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2$$

mi intento: $$\Longleftrightarrow x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2\ge xyz(x^2+y^2+z^2)$$

Answer 1

Dejar $x=z+u,y=z+v,\to u\ge v \ge0$

$x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2- xyz(x^2+y^2+z^2)=(u^2-uv+v^2)z^3+3u^2vz^2+uv(u^2-v^2)z+3u^2v^2z+u^3v^2 \ge0$

Answer 2

Dejar $$E(a,b,c)=a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2-abc(a^2+b^2+c^2)$$ entonces $$2E(a,b,c)=\sum a^3(b-c)^2-\sum a^2(b^3-c^3)=\sum a^2(b-c)^2(a+c-b)\ge 0$$ porque $$\sum a^2(b^3-c^3)=\sum a^2(b-c)^3$$

Answer 3

La ecuación se puede reescribir como

$$x^2 \left(\frac y z - 1\right) + y^2 \left(\frac z x - 1\right) + z^2 \left(\frac x y - 1\right) > 0 $$

Entonces, como me di cuenta de que $x > 0, y > 0, z > 0$ no es suficiente para resolver el problema, hice un cambio de variables para convertir el problema en uno de esa forma:

$$v = \frac x y - 1, v > 0$$ $$u = \frac y z - 1, u > 0$$

$$\frac {x^2} {y^2} \left(\frac y z - 1\right) + \left(\frac z x - 1\right) + \frac {z^2} {y^2} \left(\frac x y - 1\right) > 0 $$

$$(v+1)^2u + (v+1)^{-1}(u+1)^{-1} - 1 + (u + 1)^{-2}\left((v+1)(u+1)-1\right) > 0$$

Luego lo meto en un ordenador para simplificar la fracción porque ni de coña quiero hacerlo a mano...

$$\frac{\left( {u}^{3}+2\,{u}^{2}+u\right) \,{v}^{3}+\left( 3\,{u}^{3}+6\,{u}^{2}+4\,u+1\right) \,{v}^{2}+\left( 3\,{u}^{3}+5\,{u}^{2}+3\,u\right) \,v+{u}^{3}+{u}^{2}+u}{\left( {u}^{2}+2\,u+1\right) \,v+{u}^{2}+2\,u+1} > 0$$

Es la primera vez que resuelvo este tipo de problema.

Answer 4

De otra manera. $$\sum_{cyc}\left(\frac{x^2y}{z}-x^2\right)=(y-z)^2\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}-1\right)+(x-y)(x-z)\left(\frac{y}{z}+\frac{y}{x}-1\right)\geq0.$$