¿Cada teoría elimina cuantificadores en una extensión de definición adecuada?

Question

Tengo que demostrar que cada teoría elimina los cuantificadores en una adecuada definición de expansión. Para esto, considere: vamos a $T$ ser una teoría en el lenguaje $L$. Considere la siguiente expansión de la lengua: para cada una de las $L$- fórmula $\varphi(\bar x)$ agregar una relación $R_\varphi$, cuya arity es la longitud de $\bar x$. Considerar la teoría de la $T'$ obtenido por adición, para cada una de las $L$-fórmula $\varphi(\bar x)$, el axioma $\forall \bar x (\varphi (\bar x)\leftrightarrow R_\varphi(\bar x))$$T$. Probar que:

1. Cada modelo de $T$ tiene un único expansión de un modelo de $T'$.

2. Si $\varphi$ $L$- sentencia y $T'\models \varphi$$T\models \varphi$.

3. Para cada $\varphi (\bar x ) \in L'$ hay $\psi(\bar x) \in L$ tal que $T' \models \varphi (\bar x) \leftrightarrow \psi(\bar x)$.

4. $T'$ eliminación de cuantificadores.

Así, para el primer elemento, tengo que hacer dos cosas, una es para mostrar que no es una expansión y el otro que es único. Supongo que para demostrar que es la única que tengo que tomar 2 "diferentes" expansiones y demostrar que son el mismo. Yo realmente no se sabe la manera correcta de empezar a escribir esto, así que agradecería su entrada.

Para el segundo... parece "evidente", pero no sé cómo justificar. Suponga $T' \models \varphi$, lo $T' \models \forall \bar x (\varphi (\bar x)\leftrightarrow R_\varphi(\bar x))$ (se puede decir eso?), Realmente no sé cómo salir de aquí.

Estoy muy perdido sobre cómo continuar, y yo realmente apreciaría su ayuda me explicando cómo ir sobre esto.

Answer 1

Para 1): Comenzar con algunas $\mathcal{M}\models T$ donde $M$ es el conjunto subyacente del modelo $\mathcal{M}$. Dado un $L$-fórmula $\varphi(x_1, x_2,\ldots, x_n)$ ($n$ variables libres) deje $R_\varphi^{\mathcal{M}^\prime}=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in M^n: \mathcal{M}\models\varphi(a_1, a_2,\ldots, a_n)\}$. Hacer esto para cada una de las $L$-fórmula $\varphi$, y, a continuación, extender $\mathcal{M}$ gracias a la incorporación de los conjuntos de $R_\varphi^{\mathcal{M}^\prime}$, y llamar a este nuevo modelo de $\mathcal{M}^\prime$. A continuación, $\mathcal{M}^\prime$ $L^\prime$ estructura de la interpretación de los símbolos de $L$ de la misma manera $\mathcal{M}$ interpretó, y la interpretación de los nuevos símbolos de la forma$R_\varphi$$R_\varphi^{\mathcal{M}^\prime}$. A continuación, $\mathcal{M}^\prime$ es un modelo para $T^\prime$ (no es muy difícil de demostrar).

La unicidad, es suficiente para demostrar que $R_\varphi^\mathcal{B}=R_\varphi^{\mathcal{M}^\prime}$ siempre $\mathcal{B}$ es una expansión de $\mathcal{M}$ que modelos de $T^\prime$. Por lo que tomar un $L$-fórmula $\varphi(x_1, x_2,\ldots, x_n)$ ($n$ variables libres), tenemos $(a_1, a_2, \ldots, a_n)\in R_\varphi^{\mathcal{M}^\prime}$ fib $\mathcal{M}^\prime\models R_\varphi(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ fib $\mathcal{M}^\prime\models \varphi(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ fib $\mathcal{M}\models \varphi(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ fib $\mathcal{B}\models\varphi(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ fib $\mathcal{B}\models R_\varphi(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ fib $(a_1, a_2, \ldots, a_n)\in R_\varphi^\mathcal{B}$.

Answer 2

1. es respondida por el Sam.

2. sigue a partir de 1. De hecho, si $T\not\models\varphi$, entonces hay un $M\models T\cup\{\neg\varphi\}$, por lo tanto una expansión $M'\models T'$, lo que claramente los modelos de $\neg\varphi$. (A la inversa implicación de la siguiente manera por el mismo argumento con $\neg\varphi$$\varphi$.)

3. es cierto por definición atómica funciones. Luego, por inducción, se mantiene para todas las fórmulas.

4. Cada $L$-fórmula es equivalente a más de $T'$ atómicos (de ahí cuantificador) $L'$-fórmula. Por 3, lo mismo vale para todos los $L'$-fórmulas.