¿Cuál es el valor máximo de $4(\sin x)^2 + 3(\cos x)^2$

Question

La pregunta es: ¿Cuál es el valor máximo de: $4\sin^2\theta + 3\cos^2\theta$

Así lo hice yo:

$4\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = \sin^2\theta + 3\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = \sin^2\theta + 3$

El valor máximo de $\sin^2\theta$ es $1$ por lo que la respuesta debe ser $4$ . Sin embargo mi libro dice que la respuesta es $5$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Tu argumento está bien. Puedes comprobarlo tomando la derivada de la función: $$f(x)=4\sin(x)^2+3\cos(x)^2$$ $$y'(x)=2\sin(x)\cos(x)$$ que es nulo para $x=0,x=\frac{\pi}{2}$ El primer valor da $y(x)=3$ con la segunda se obtiene $y(x)=4$ . Así que.., $4$ es el valor máximo de $f(x)$

Answer 2

Aunque esto ya se ha preguntado y respondido, voy a dar una solución alternativa que evita los complicados cálculos de derivadas. Tenga en cuenta que $4\sin^2{x}+3\cos^2{x}$ está muy cerca de $4(\sin^2{x}+\cos^2{x})=4(1)=4$ . Así que lo arreglamos para conseguir lo que queremos. $$ 4\sin^2{x}+3\cos^2{x}=4\sin^2{x}+3\cos^2{x}+\big(\cos^2{x}-\cos^2{x}\big) $$ Lo que nos da $$ 4(\sin^2{x}+\cos^2{x})-\cos^2{x}=4-\cos^2{x}=4+(-\cos^2{x}) $$ Así que el máximo de nuestra función original se producirá siempre que $-\cos^2{x}$ tiene un mínimo (ya que lo hemos añadido a nuestra función original). Dado que el mínimo de $-\cos^2{x}$ es $0$ el valor máximo de nuestra función original $4\sin^2{x}+3\cos^2{x}$ es $4$ .

Answer 3

He aquí una "solución" geométrica. Con la curva $x(t)= \sqrt{3} \cos t$ y $y(t)=\sqrt{4} \sin t$ , $0\leq t \leq 2 \pi$ obtenemos una elipse con semieje mayor de 2 a lo largo del eje y y semieje menor de $\sqrt{3}$ a lo largo del eje x. Entonces la distancia al cuadrado al origen $x(t)^2+y(t)^2=4\sin^2 t + 3 \cos^2 t$ debe maximizarse al valor del semieje mayor al cuadrado. Esto se debe a que podemos imaginar una elipse inscrita dentro de un círculo para ver que debe ser 4.