¿Cómo puede un producto de Bra y Ket ser un escalar si son matrices?

Question

Estoy intentando enseñarme Mecánica Cuántica y actualmente estoy en Aritmética de Espacios Vectoriales Complejos. Según Wikipedia El producto de un Bra y Ket es un escalar (que, creo, significa un número complejo). Pero entonces, en la misma página, también dice que tanto Bras como Kets pueden representarse mediante matrices 1xN y Nx1 respectivamente.

El producto de estas matrices debe ser una matriz de 1x1, no un escalar como se responde aquí . Mis preguntas son:

1. ¿Podemos realmente representar a Bras y Kets por medio de matrices en la multiplicación, o es sólo una analogía llevada demasiado lejos? En caso afirmativo,
2. ¿podemos sustituir de forma fiable una matriz de 1x1 por un escalar en todas las situaciones? ¿O es un atajo aplicable sólo en algunos contextos?
3. Si no es de aplicación universal, ¿dónde podemos hacer esta sustitución y por qué?

Answer 1

Esta es una buena pregunta--desde el punto de vista lógico, un escalar no es un objeto del mismo "tipo" que la matriz uno por uno que puedes hacer a partir de él. (Acabo de pasar horas tratando de compilar el código de otra persona que no compila debido a errores de tipo similares).

Desde el punto de vista físico, no hay diferencia si ambos pueden utilizarse para los mismos fines. Lo cual es posible, en este contexto.

Que yo sepa, siempre pueden ser sustituidos por el otro en todos los contextos que se me ocurren en la física.

El "propósito" de una matriz es describir una transformación lineal en un espacio. Un escalar siempre actúa sobre un espacio, o no se llamaría "escalar", sino simplemente "número". Normalmente, los coeficientes de la matriz cambian si se cambia la base de coordenadas en el espacio. Pero el coeficiente matricial de un escalar nunca cambia por mucho que se cambien las coordenadas. Por tanto, son independientes de las coordenadas, al igual que los números.

Para ampliar un poco este punto pedante, un escalar no es exactamente lo mismo que un número. Sólo llamamos "escalar" a un número si pensamos en él en relación con un espacio vectorial sobre el que actúa, como una transformación lineal. Así que, si se acepta esta distinción de uso común entre "escalar" y "número", la matriz uno a uno ES exactamente el mismo tipo de cosa que un escalar, pero no es el mismo tipo de cosa que un número. El verdadero descuido, que es inofensivo, es pensar que escalar=número. Si aceptas esta distinción, entonces no hay ninguna chapuza, ni siquiera lógica, en decir que el producto de esos dos vectores es un "escalar". Y por eso se llama "producto escalar". Pero no es exactamente un número (si se acepta esta distinción).

Answer 2

El puede ser representado por matrices Sí. Eso no significa que son matrices, sin embargo. Las matrices no son objetos matemáticos muy significativos, sólo proporcionan una forma práctica de especificar operadores lineales en papel o en programas informáticos.

En el caso de Bra-Ket, la situación es realmente esta: se tiene un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ que contiene ciertos vectores/estados. Normalmente se considera que éstos son los Kets. Aunque la distinción es comúnmente borrosa, un vector es no una matriz de números de una columna, sino una entidad matemática abstracta. En mi opinión, lo mejor es pensar en ello como un punto en una hipersuperficie (el espacio de Hilbert). Sólo si se expande un vector a coeficientes con respecto a algún base y se obtiene una matriz de números.

Los sujetadores pertenecen a la espacio dual $\mathcal{H}^\ast$ que es el espacio de todos los funcionales lineales $\mathcal{H}\to\mathbb{C}$ . Por lo tanto, un producto de un sujetador y un Ket es realmente el resultado de aplicar una función Bra a un argumento Ket y como el codominio de los Bras es el conjunto de los números complejos (es decir, de los escalares), el producto no da ningún tipo de matriz sino sólo, bueno, un único escalar.

Ahora, debido a un bonito (y en realidad no tan trivial) teorema matemático el espacio de los funcionales lineales es en realidad isomorfo al propio espacio de Hilbert. Por eso tiene sentido la notación simétrica de Bras y Kets: en realidad no tenemos que preocuparnos de cuáles son vectores y cuáles son covectores, y ambos pueden ser pensamiento de como matrices de forma diferente. Pero no creo que sea realmente inteligente verlo de esta manera, aunque por supuesto es bueno saber que se puede.

Answer 3

Esto puede parecer ingenuo, pero como ingeniero acostumbrado a visualizar las cosas, siempre entiendo la multiplicación de vectores y matrices como en este diagrama:

Para multiplicar dos matrices AB, A tiene que tener tantas columnas como filas tiene B, y el resultado tiene tantas filas como A y tantas columnas como B. Se obtiene cada elemento del resultado multiplicando las celdas correspondientes y sumándolas.

Si A y B son vectores, uno tiene que ser una fila y el otro una columna.

Si quieres multiplicarlos para obtener un solo número, eso es el producto PUNTO o INTERIOR, que es donde se multiplica la fila por la columna, y tienen que tener la misma longitud.

También se pueden multiplicar para obtener una matriz, que es el producto TENSOR o EXTERIOR. En este caso se multiplica la columna por la fila, y no tienen por qué tener la misma longitud.

Answer 4

Hablemos del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ sin el formalismo bra-ket. Sea $\mathbf{e}_i$ denota el vector con $j$ El componente $\delta_{ij}$ que es $1$ para $i=j$ o $0$ para $i\neq j$ . Estos forman una base, a saber $\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v_i\mathbf{e}_i$ . Los mapas lineales de este espacio vectorial a $\mathbb{R}$ forman un espacio vectorial llamado espacio dual de $\mathbb{R}^n$ . También podemos construir una base de este espacio; nuestro $i$ elemento de base, digamos $\mathbb{e}_i^\dagger$ , enviará $\mathbb{e}_j$ a $\delta_{ij}$ . Ahora tengo un operador binario que toma un elemento de cada espacio vectorial, luego hace que el elemento de $\mathbb{R}^n$ el argumento de la función tomada del espacio dual. Escribimos $\mathbb{e}_i^\dagger\mathbb{e}_j=\delta_{ij}$ . Pero ahora también puedo asociar cada $\mathbb{e}_i$ con $\mathbb{e}_i^\dagger$ y pensar en esto como un funcional bilineal en $\mathbb{R}^n$ . Se trata, por supuesto, del conocido producto punto, es decir. $\left(\sum_i u_i \mathbb{e_i^\dagger}\right)\left(\sum_j v_j\mathbb{e_j}\right)=\sum_{ij}u_i\delta_{ij}v_j=\sum_i u_i v_i.$ Y puedes hacer lo mismo para $\mathbb{C}^n$ sólo que ahora nuestro producto interno conjuga el $u_i$ .

Así es como funcionan los productos interiores. A continuación necesitamos productos exteriores que son de la forma $\sum_{ij}a_{ij}\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j^\dagger$ . Se trata de mapas lineales que pueden tomar un vector de cualquier espacio, siempre que lo pongas en el lado correcto para formar un producto interior. Estos productos exteriores son simplemente matrices. Como ejemplo, si $I:=\sum_i\mathbf{e}_i \mathbf{e}_i^\dagger$ puis $I\mathbf{v}=\mathbf{v},\,\mathbf{v}^\dagger I=\mathbf{v}$ . Así que $I$ ¡es la matriz de identidad! (Obsérvese que obtenemos esto con la elección $a_{ij}=\delta_{ij}$ .) El producto interior de dos vectores se obtiene colocando un vector a cada lado del producto exterior, a saber $\mathbf{u}^\dagger\mathbf{v}=\mathbf{u}^\dagger I \mathbf{v}$ . (Como ejercicio, puedes encontrar qué matrices pueden sustituir a $I$ para seguir dando una función que satisfaga los axiomas del producto interior).

La mecánica cuántica parece un poco más complicada, pero estos principios se aplican a cualquier espacio vectorial. Por supuesto, es posible que utilices una notación de tipo bra-ket, o que tengas que integrar sobre una etiqueta en lugar de sumar sobre ella. (Esto lleva a algunos complicaciones divertidas .) Pero la explicación del comentario de tu libro de texto es la distinción producto interior/producto exterior.

Answer 5

El sujetador y el ket son representado por vectores. Esto no los convierte en vectores. Como dices antes, su producto se define como un escalar. No confundas las representaciones con las cosas.

Esto también les ocurre a los alumnos que estudian álgebra lineal. Al principio confunden los operadores lineales con las matrices llenas de números. Los operadores lineales no cambian con el cambio de coordenadas (cambio de base), pero las matrices cambian sustancialmente. En este caso, los estudiantes creen (incorrectamente) que un cambio de base cambia los operadores lineales, pero no es así.

Asimismo, los sujetadores y los kets son objetos en algún espacio abstracto. Pueden representarse como vectores, que también son matrices (si un índice abarca sólo el conjunto $\{1\}$ ). No son ni vectores ni matrices. Si cambiamos de base en ese espacio, los vectores y las matrices cambian, pero los sujetadores y los kets no cambian. No hay que confundir el objeto con la representación.

Se observa que el producto interior de un vector que representa un sujetador y un vector que representa un ket (uno de los cuales, en realidad, debería ser un covector, pero esta no es su pregunta) es un vector de una sola entrada o una matriz de una sola entrada (todos los índices abarcan ahora el conjunto $\{1\}$ ). De lo anterior, no debería sorprender que esta pequeña matriz representa el escalar que es el producto del sujetador (genuino) y el ket. De nuevo, se trata de "dos capas" de cosas: los sujetadores, kets y escalares reales, y sus representaciones como matrices y vectores. No hay que confundir las dos capas.