Intuición sobre subbasis para una topología

Question

En general, la topología de la idea de base es bastante simple. La definición es la siguiente:

Deje $X$ ser un conjunto, un conjunto $B\subset \mathcal{P}(X)$ se dice que es una base para una topología en $X$ si:

1. Para cada una de las $x\in X$ no $U\in B$ tal que $x\in U$.
2. Si $x\in U_1\cap U_2$,$U_1,U_2\in B$, entonces no es $U_3\in B$ tal que $x\in U_3$$U_3\subset U_1\cap U_2$.

Con eso, la topología $\tau$ generado por $B$ se define de modo que $U\in \tau$ si para cada una de las $x\in U$ no $U_x\in B$$x\in U_x\subset U$. En otras palabras, $\tau$ es el conjunto de todas las uniones de los elementos de $B$.

A continuación, una prueba que $\tau$ es de hecho una topología. Obviamente, esto es la extensión natural del abierto de bolas que uso en espacios métricos. Es bastante simple de entender y conseguir un poco de intuición acerca de él.

La otra definición, yo simplemente no puede obtener ninguna intuición acerca de la idea de subbasis. La definición es la siguiente:

Deje $X$ ser un conjunto, un conjunto $S\subset \mathcal{P}(X)$ se dice que es un subbasis para una topología en $X$ si la unión de todos los conjuntos en $S$ es igual a $X$. En ese caso, el conjunto de

$$B = \left\{S_1\cap\dots\cap S_n : S_i\in S, n\in \mathbb{N}\right\},$$

es una base para una topología $\tau$$X$. En otras palabras $\tau$ es el conjunto de todos los sindicatos de todas las intersecciones finitas de elementos en $S$.

Si, por un lado, la idea de base es bastante intuitivo y sencillo de entender, basado en el simple ejemplo de abrir las bolas, la idea de subbasis parece bastante diferente.

Quiero decir, sé que funciona. La prueba de que $\tau$ es una topología es bastante simple. Lo que no es sencillo es entender la intuición.

En ese caso: ¿qué es la intuición acerca de subbasis? Por qué iba alguien a considerar el objeto definido de esa manera? ¿Por qué es relevante y cómo podemos entender correctamente para tener cierta intuición en cuando tenemos que utilizar?

Answer 1

Algunos autores incluso no requieren un subbasis tener unión iguales a todos los de $X$, es decir, un subbasis es cualquier subconjunto $S \subseteq \mathcal{P}(X)$ alguna. Cualquiera que sea el enfoque adoptado, la idea es usar $S$ a generar una topología $\tau$ que incluye a $S$, y como algunos otros bloques abiertos como sea posible. Desde una intersección arbitraria de topologías es una topología, una manera de conseguir $\tau$ es tomar $$\tau = \bigcap \{ \tau' : \tau' \text{ is a topology with } S \subseteq \tau' \}.$$ Pero resulta que también podemos obtener el $\tau$ por la escritura de la base. Es decir, $$B = \left\{S_1\cap\dots\cap S_n : S_i\in S, n\in \mathbb{N}\right\}$$ can be checked to be a basis for the topology $\tau$ arriba.

De todos modos, estoy de acuerdo es natural a ser un poco sospechoso al principio de la definición de un subbasis. Parece demasiado floja de un concepto a ser bueno para algo, ¿verdad? Pero el punto es pensar en esto como algo más parecido a... decir un set de generación de energía para un grupo. Dado cualquier subconjunto $S$ de un grupo de $G$, podemos definir el último subgrupo $\langle S \rangle$ contiene $S$. Esto también puede ser escrito de forma explícita como $\{ g_1 \cdots g_n : g_i \in S \text{ or } g_i^{-1} \in S\}$. Pero aquí no nos parece extraño que en ningún supuesto acerca de la $S$, ¿verdad? Acabamos de utilizar cualquier subconjunto de a $G$ a generar un grupo más pequeño.

La situación en la topología de la misma. Es sólo que, debido a que usamos la terminología especial "subbasis", que inicialmente se sospecha que subbases debe ser de alguna manera "especial". Pero, de hecho, un subbasis es cualquier colección de subconjuntos que se utiliza para generar una topología más pequeña.