Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función invertible, ¿es necesario que la función tenga que ser estrictamente monótona?

Question

Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función invertible, ¿es necesario que la función sea estrictamente monótona sin ninguna condición adicional?

Para que la invertibilidad se mantenga, tenemos que asegurarnos de que es una función biyectiva sobre $\mathbb{R}$ .

Ahora, digamos que una función es continua y tiene un convexo hacia arriba forma a partir de $-\infty$ y finalmente es asintótica en $y=5$ . En el punto $x=3$ tiene una discontinuidad de salto tal que $(x,y)=(3,8)$ . ¿Puede tal función satisfacer las condiciones de $f$ en cuestión? No lo creo ya que el codominio es $\mathbb{R}$ y por lo tanto, tiene que ser surjetivo en el codominio supongo. Como, no seremos capaces de encontrar $f^{-1}(12)$ . ¿Verdad? O, ¿no hay relación con el rango y el codominio aquí?

¿Puede ser un ejemplo adecuado a la función en cuestión? (Por favor, vea la imagen de abajo) En la imagen, los círculos de color verde representan intervalos abiertos y los círculos azules rellenos representan intervalos cerrados.

Answer 1

Su función es claramente inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva, por lo tanto invertible, así que todo está bien.

El bit estrictamente monótono es necesario cuando su función es continua por IVT.

Answer 2

Bloqueo de citas Si $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es una función invertible, ¿es necesario que la función sea estrictamente monótona sin ninguna condición adicional?

La respuesta a esta pregunta es obvia: NO. Véase el contraejemplo: $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}&\text{for }x\ne 0,\\[1ex] 0&\text{for }x=0.\end{cases}$$

Si asumimos la continuidad, entonces una función invertible es estrictamente monótona.

Answer 3

Otro ejemplo sencillo: $f(0)=1,f(1)=0,$ y $f(x) = x$ en otro lugar.

He aquí un ejemplo más ambicioso: Existe una biyección $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que no es monótona en ninguna parte, lo que significa que no hay ningún intervalo de longitud positiva en el que $f$ es monótona.

Para ello, dejemos que $I_1,I_2,\dots$ sean los intervalos abiertos con puntos finales racionales. Podemos elegir inductivamente $x_n<y_n$ en $I_n$ tal que todos los puntos $x_1,y_1,x_2,y_2,\dots$ son distintos. Sea $E= \{x_1,y_1,x_2,y_2,\dots \}.$ Definir $f:E\to E$ al establecer $f(x_n)=y_n, f(y_n)=x_n$ para cada $n.$ En $\mathbb R \setminus E,$ definir $f(x)=x.$ Entonces $f$ es una biyección de $\mathbb R$ a $\mathbb R.$ Si $I$ es cualquier intervalo de longitud positiva, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I\setminus E.$ Pero debe haber algún $I_n \subset I.$ Por lo tanto, $x_n<y_n$ pertenecen a $I,$ y $f(x_n)>f(y_n).$ Así, $f$ tiene la propiedad anunciada.

Answer 4

La respuesta es NO

$A=\mathbb{R}-$ { $1$ }

$B=\mathbb{R}-$ { $5$ }

$C=B-$ { $1$ }

$f(x)=x.1_{C }+5.1_{\{1\} }+1_{\{5\} }$

$f(x)$ es invertible, ya que es uno a uno, pero sigue sin ser monótono