¿La suma esperada de los números que aparecen en dos dados, cada uno sesgado de modo que un 3 aparece dos veces más que cada otro número?

Question

Esta pregunta ya está publicado aquí,pero quiero comprobar mi enfoque.

Pregunta

Lo que se espera que la suma de los números que aparecen en dos dados, cada sesgada, de modo que un $3$ viene dos veces tan a menudo como cada número?

---

Mi Enfoque

Deje que la probabilidad de obtener otro número de $3$ $p$

así $$\frac{1}{p}+\frac{1}{p}+\frac{2}{p}+\frac{1}{p}+\frac{1}{p}+\frac{1}{p}=1 \Rightarrow p=\frac{1}{7}$$

Proability de contraer $3=\frac{2}{7}$

y el resto de otros $=\frac{1}{7}$

deje $E(X_1)$ ser la expectativa de obtención de la suma de rodadura $1$ dados. $E(X_1)=1 \times \frac{1}{7}+2 \times \frac{1}{7}+3 \times \frac{2}{7}+4 \times \frac{1}{7}+5 \times \frac{1}{7}+6 \times \frac{1}{7}=\frac{24}{7}$

Ahora espera suma de los números que aparecen en los dos dados

$$E(X_1 +X_2)=E(X_1)+E(X_2)=\frac{24}{7}+\frac{24}{7}=\frac{48}{7}\approx 6.86$$

Es mi enfoque correcto?

Answer 1

Su enfoque es correcto. Para guardar un poco de la aritmética y el desvío a través del cálculo de las probabilidades, también se podría argumentar que el planteamiento del problema equivale al resultado absorbido uniformemente al azar de ${1,2,3,3,4,5,6}$, por lo que el resultado esperado de un dado es el promedio de ese conjunto,

$$ \frac{1+2+3+3+4+5+6}7=\frac{24}7\;. $$

Es esencialmente la misma solución, pero no tantas fracciones escribir :-)

Answer 2

Esto es lo mismo que dos dados de siete lados con dos 3s.

Valor esperado $E= 2\cdot \frac{1+2+3+3+4+5+6}{7} = 6.8571$