Demostrar que $\operatorname{Im} f$ es la unión de dos intervalos disjuntos

Question

Dejemos que $a,b\in \mathbb{R}$ tal que $a<b$ . Dejemos que $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ sea monótonamente creciente ( $\leq$ -según) .
Dejemos que $x_0\in (a,b)$ . $f$ es continua en $(a,b)\setminus\{x_0\}$ . En $x_0$ , $f$ es continua por la derecha, pero no por la izquierda. Demuestre que $\operatorname{Im} f$ es la unión de dos intervalos disjuntos.

Intento

$f$ es continua en $[x_0,b)$ por lo que la imagen es un intervalo $I$ .
$f$ es continua en $(a,x_0)$ por lo que la imagen es un intervalo $J$ .
Supongamos que existe algún $x_1\in (a,b)$ tal que $f(x_1)\in I\cap J$ $\iff$$\big ((x_1 \in [x_0,b) \implies f(x_1) \in I) \wedge (x_1 \in (a,x_0) \implies f(x_1) \in J) \big )$

Por el hecho de que $\forall y\in(a,x_0)\forall z\in[x_0,b):y<z$ y la monotonicidad de $f$ obtenemos $f(x_1)\leq f(x_1)$ .

Comentario
No estoy seguro de mis implicaciones lógicas.

Answer 1

Sus argumentos son correctos. Una prueba más sencilla:

Desde $f$ es continua en $(a,x_0)$ y $f$ es creciente, tenemos, por el teorema del valor intermedio,

$f((a,x_0)))=(f(a),f(x_0))$ .

Desde $f$ es continua en $(x_0,b)$ , $f$ es continua por la derecha en $x_0$ y $f$ es creciente, tenemos, por el teorema del valor intermedio,

$f([x_0,b))=[f(x_0),f(b))$ .

Conclusión: $Im f= (f(a),f(x_0)) \cup [f(x_0),f(b))$ .