La distancia más corta de la elipse a la línea

Question

¿Cuál es la distancia más corta entre la elipse $$ \frac {x^2}{4}+y^2=1$$ y la línea $y= \frac {- \sqrt {3}}{2}x+8?$

Intenté resolverlo usando una línea tangente a la elipse y paralela a la línea dada: $y= \frac {- \sqrt {3}}{2}x+b$

Luego, conectando la y de nuevo en la ecuación de la elipse: $x^2-b \sqrt {3}x+(b^2-1)=0$

Lo que significa que el discriminante tendría que ser igual a 0 para que la línea sea tangente, ¿verdad? $3b^2-4b^2+4=0$

$b=2$

Pero cuando conecto la intercepción y, (0,2), en una fórmula de distancia punto a línea obtengo $$ \frac {|0* \sqrt {3}+2*2-16|}{ \sqrt {3+4}}$$

Que es $ \frac {12 \sqrt {7}}{7}$ pero la clave de respuestas dice que es $ \frac {3 \sqrt {13}}{2}$

¿Qué estoy haciendo mal? No me importa aprender otros métodos, pero aún no he aprendido nada de cálculo, así que me gustaría hacer el problema sin él. Gracias.

Answer 1

Creo que hay una errata en la respuesta.

Obsérvese que la distancia más corta es siempre la perpendicular.

Dejemos que $P$ sea un punto paralelo a la línea dada $y=\frac{-\sqrt{3}}{2}x+8$ .

Entonces la pendiente en $P$ es $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}\mbox{------(1)}$$

Como la recta dada y la tangente son paralelas, las pendientes son iguales.

$$\mbox{Slope of the given line is } \sqrt{3}x+2y=16 \mbox{ is }\frac{-\sqrt{3}}{2}$$ $$-\frac{x}{4y}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$$ $$x=\sqrt{3}y$$ Ahora sustituye el $x=\sqrt{3}y$ en la elipse $x^2+4y^2=4$ y obtenemos $$12y^2+4y^2=4$$ $$y=\pm\frac12$$ Claramente $\left(\sqrt{3},-\dfrac12\right)$ está más cerca de la línea. Distancia $=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{12\sqrt{7}}{7}$

Answer 2

La recta tangente a una elipse paralela a una recta dada puede hallarse sin utilizar el cálculo.

En primer lugar, observe que encontrar la distancia entre un círculo $C$ y una línea $L$ sería un problema más sencillo. Uno encontraría la línea $L^\prime\perp L$ que pasa por el centro de la circunferencia y luego encontrar el punto de intersección de $C$ y $L^\prime$ en el lado de $C$ más cercano $L$ . Entonces se podría encontrar la distancia de este punto a la línea.

Aunque tengamos una circunferencia en lugar de una elipse, una elipse puede transformarse en una circunferencia estirándola a lo largo de su eje menor o encogiéndola a lo largo de su eje mayor. Y lo bueno de las transformaciones de estiramiento y encogimiento es que no sólo transforman líneas en líneas, sino que transforman líneas paralelas en líneas paralelas.

La elipse $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ puede transformarse en el círculo $x^2+y^2=1$ por la transformación de la contracción

$$T\,:\,x\mapsto 2x$$

Esta transformación mapea la línea dada $L: y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+8$ en la línea $T(L):y=-\sqrt{3}x+8$ . Cualquier línea perpendicular a $T(L)$ tiene pendiente $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ . Como queremos la línea perpendicular a $T(L)$ que pasa por el centro, que en este caso es el origen, queremos que la línea $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ . Sustituyendo este valor de $y$ en la ecuación del círculo da su punto de intersección más cercano a la línea $T(L)$ como $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ .

A continuación vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ . Sabemos que tiene pendiente $-\sqrt{3}$ porque está en paralelo con $T(L)$ . Por lo tanto, encontramos fácilmente que su ecuación es $y=-\sqrt{3}x+2$ .

Ahora aplicamos la transformación inversa

$$T^{-1}\,:\,x\mapsto\dfrac{1}{2}x$$

a esta línea para obtener $y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+2$ . Esta línea es la $L^\prime$ que es tangente a la elipse y paralela a $L$ . Además, contiene el punto de tangencia $T^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\left(\sqrt{3},\dfrac{1}{2}\right)$ que es el punto de la elipse más cercano a $L$ .

A continuación, la distancia se encuentra utilizando la fórmula de la distancia para ser exactamente lo que encontró, $\dfrac{12\sqrt{7}}{7}$ .

No es necesario el cálculo.

Answer 3

WLOG cualquier punto (P) de la elipse puede ser elegido para ser $(2\cos t,\sin t)$

¿Cuál es la distancia perpendicular de $P$ de la línea dada?

Por último, utilice $-\sqrt{a^2+b^2}\le a\cos t+b\sin t\le\sqrt{a^2+b^2}$