Demostrar que para cada número entero $a, b$ existe un número entero $n$ para que el número $n^2+an+b$ tiene al menos 2018 divisores primos
Lo intenté:
Suponiendo que $p$ es un primo impar, la ecuación $$ n^2+an+b \equiv 0\pmod{p} $$ tiene al menos una solución $n\equiv c_p\pmod{p}$ tan pronto como $a^2-4b$ es un residuo cuadrático $\!\!\pmod{p}$ .
$a^2-4b$ es un residuo cuadrático para el infinito $^{(*)}$ primos $p_1,p_2,p_3,\ldots$ y el sistema $$ n\equiv c_{p_1}\!\!\!\pmod{p_1},\quad \ldots,\quad n\equiv c_{p_{2018}}\!\!\!\pmod{p_{2018}} $$ tiene una solución entera por el teorema del resto chino.
Una ligera generalización es que $\omega(\text{monic quadratic polynomial }(n))$ no tiene límites.
$(*)$ Esto no es del todo trivial. Supongamos, por contradicción, que algún número entero $m$ es un residuo cuadrático sólo para un número finito de módulos primos, siendo el mayor de ellos $p$ . Por el teorema de Dirichlet existe un primo $Q\equiv 1\pmod{4m}$ tal que $Q>p$ . Por reciprocidad cuadrática para los símbolos de Legendre/Jacobi $$ \left(\frac{m}{Q}\right)=\left(\frac{Q}{m}\right)=\left(\frac{1}{m}\right)=1$$ por lo que $m$ es un residuo cuadrático para algún primo $Q>p$ contradicción.
La respuesta aceptada en math.stackexchange.com/questions/226563/ da una demostración elemental sin el teorema de Dirichlet.
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Parece un problema divertido. Pero tengo que preguntar si esto puede ser de algún concurso? Verás, las preguntas de los concursos a menudo utilizan el año como entrada en cuestión (a veces el año exacto es crucial, a veces una condición de congruencia leve estaría bien, a veces el parámetro es una pista falsa). Y tenemos una política estricta de no permitir preguntas de concursos en curso.
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Si no es de un concurso, probablemente debería dar un poco de otro contexto. ¿Qué piezas de teoría se han tratado recientemente? ¿Teorema del resto chino? ¿Residuos cuadráticos? ¿Ley de reciprocidad?
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En cuestiones como ésta, primero utilizo la solución de fuerza bruta para hacerme una idea del problema y luego intento derivar una solución más eficiente.
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El concurso ya ha terminado, yo no participé. Pero mis amigos no me dejaron saber la respuesta. Todo lo que sé es que puedo usar TODOS los teoremas aritméticos
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¿Conoces el teorema del resto chino?
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@saulspatz sí, conozco el Teorema del resto chino .
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@MathBuster Estaba en medio de escribir una pista sobre cómo utilizar el teorema del resto chino cuando se publicó una respuesta, así que abandoné la pista.