¿Cuál es el comportamiento asintótico de este producto?

Question

No es muy difícil encontrar límites inferior y superior para el producto$$\prod_{ k=1}^n \left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)$ $
Por ejemplo, uno puede demostrar fácilmente que el producto es mayor que$n$ y menos que$2^n$ (por supuesto, estos límites se pueden mejorar).
Mi pregunta es: ¿es posible determinar el comportamiento asintótico de este producto?

Answer 1

$$\exp\sum{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)=\exp\sum{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{2k}+O\left(\frac{1}{k^{3/2}}\right)\right) $ $ es igual a $$ \exp\left[2\sqrt{n}-\frac{1}{2}\log(n)+O(1)\right] $ $ por lo tanto, su producto se comporta como $\frac{e^{2\sqrt{n}}}{K\sqrt{n}}$ para valores grandes de $n$.
¿Te interesa un valor explícito para $K$? Contamos aproximadamente con $K\approx 3.1$.