Integración de

Question

Soy un estudiante de ingeniería y estoy trabajando en un problema de probabilidad. Estoy tratando de averiguar la probabilidad de que al azar dos diagonales de dos circunferencias se intersectan. Estoy considerando dos circunferencias con el mismo rayo r y con sus puntos centrales en la distancia c. En función del valor de a=c/r el problema asume diferentes formulaciones de todos modos, en cualquier caso, emerge una extraña integral no soy capaz de resolver. La integral es la siguiente:

$$\int \arcsin(a \sin{x}) dx $$

el valor de los límites de la integración está en función del valor del parámetro ( por ejemplo, una integral es integrado entre el$0$$\arccos (a/2)$ ). El software Mathematica' no me da ningún resultado para esta integral, así que he tratado de trabajar en la integral de expansión con la definición de $\arcsin$, utilizando el método por partes y varias sustituciones con la esperanza de encontrar alguna conocida de forma que puede ser expresado en términos de alguna función especial, pero mi esfuerzo ha sido en vano hasta ahora. He encontrado algunos papeles relacionados con las integrales que involucran $\ln{sin}$ que tal vez tenga algo que ver con mi problema.Probablemente me estoy enfrentando algunas dificultades matemáticas que no soy capaz de afrontar o no es una solución como la que estoy buscando. Estoy a la espera de algunos consejos.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z|<1$ hemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}z^n = \frac{1}{\sqrt{1-z}},\qquad \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)4^n}\binom{2n}{n}z^{2n+1}=\arcsin(z)\tag{A} $$ de ahí, por ejemplo, para cualquier $a$ tal que $|a|<1$ hemos

$$ \int_{0}^{\pi/2}\arcsin(a\sin x)\,dx=\sum_{n\geq 0}\frac{a^{2n+1}}{(2n+1)4^n}\binom{2n}{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)^{2n+1}\,dx \tag{B}$$ y un pequeño milagro ocurre, ya que a través de la integración por partes $$\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)^{2n+1}\,dx = \frac{4^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}}\tag{C}$$ por lo tanto $$ \int_{0}^{\pi/2}\arcsin(a\sin x)\,dx = \sum_{n\geq 0}\frac{a^{2n+1}}{(2n+1)^2}=\color{red}{\frac{\text{Li}_2(a)-\text{Li}_2(-a)}{2}}.\tag{D} $$ Teniendo en cuenta el límite de ambos lados de ( $\text{D}$ ) $a\to 1^-$ conduce a una prueba (debido a Euler) de $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$. El procedimiento anterior puede ser adaptado para el caso de $\int_{0}^{\color{red}{\pi/4}}\arcsin(a\sin x)\,dx$, la participación de Beta incompleta funciones. Por otro lado es bastante difícil dar una clara respuesta a su pregunta sin conocer la integración de los límites que tienen que lidiar con. Además de $$\begin{eqnarray*} \int \arcsin(a\sin x)\,dx &=& \int_{0}^{a}\underbrace{ \int\frac{\sin x}{\sqrt{1-b^2 \sin^2(x)}}\,dx}_{\text{logarithmic integral}}\,db\\&\stackrel{x\mapsto\arcsin z}{=}&\int_{0}^{a}C-\frac{1}{b}\log\left(b^2\sqrt{1-z^2}+b\sqrt{1-b^2 z^2}\right)\,db \end{eqnarray*}$$ no hay ninguna razón para esperar que la LHS, siempre tiene una bonita forma cerrada (en términos de $\text{Li}_2$).
En el otro lado $g(a)=\int_{0}^{\arccos(a/2)}\arcsin(a\sin x)\,dx $ es un buen, la disminución de la función en $(\sqrt{2},2)$, que es bien aproximada por $(2-a)-\frac{1}{2}(2-a)^3$ en dicho intervalo.

Answer 2

Si desea una solución exacta, entonces no sé cómo acercarse a este.

Pero ya que este es un problema de ingeniería y no un puro problema de matemáticas, a continuación, una respuesta que está lo suficientemente cerca como debe ser lo suficientemente bueno.

Si vas a hacer una integración numérica de esta integral entre 0 y $arccos(\frac{a}{2})$ y variar el parámetro de una de 0 a 2, se obtiene una curva que se parece a esto

Que parece casi parabólico, pero usted puede ver que hay una pequeña asimetría.

Usted puede obtener una buena curva de ajuste con

$$f(a)=0.00146 + 0.958 a - 0.338 a^2 - 0.0736 a^3$$

Voy a mirar alrededor y ver si hay algo mejor...

Mirando a su alrededor, $$f(a)=-a(a-2)(0.05a+0.5)$$ es un muy buen ajuste.

He aquí lo que la curva de los datos y la curva de ajuste más reciente parecen juntos...

Answer 3

Usando$$\arcsin(t) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} t^{2n+1} \qquad \text{for}\qquad |t|\leq 1$ $ deberíamos tener$$\arcsin(a \sin(x))=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!\,\,a^{2n+1}}{4^n\, (n!)^2 \,(2n+1)} \sin^{2n+1}(x)$ $ y$$\int_0^\alpha \sin^{2n+1}(x)\,dx=-\cos (\alpha) \,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-n;\frac{3}{2};\cos ^2(\alpha)\right)+\frac{\sqrt{\pi }\,\, \Gamma (n+1)}{2\, \Gamma \left(n+\frac{3}{2}\right)}$ $ donde aparece la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria .