Determinación de un conjunto ortonormal de vectores base para el espacio lineal

Question

El siguiente es el ejemplo C.4 del Apéndice C (Revisión de los espacios lineales) de Introducción a las transformadas de Laplace y a las series de Fourier, segunda edición , por Phil Dyke:

Ejemplo C.4 Determinar un conjunto ortonormal de vectores para el espacio lineal que consiste en todas las funciones lineales reales: $$\{a+bx:a,b\in\mathbb{R}\ 0\leq x\leq1\}$$ utilizando un producto interno $$\langle f,g\rangle=\int_0^1f g\,dx.$$ Solución El conjunto $\{1,x\}$ forma una base, pero no es ortogonal. Sea $a+bx$ y $c+dx$ sean dos vectores. Para que sean ortogonales debemos tener $$\langle a+bx,c+dx\rangle=\int_0^1(a+bx)(c+dx)\,dx=0.$$ Al realizar la integración elemental se obtiene la siguiente condición sobre las constantes $a,b,c$ y $d$ $$ac+\frac{1}{2}(bc+ad)+\frac{1}{3}bd=0.$$ Para que también sea ortonormal necesitamos también $$\|a+bc\|=1\,\text{ and }\,\|c+dx\|=1$$ y estos dan, además, $$a^2+b^2=1,\ c^2+d^2=1.$$ Aquí hay cuatro incógnitas y tres ecuaciones, por lo que podemos hacer una elección conveniente. Pongamos $$a=-b=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ que da $$\frac{1}{\sqrt{2}}(1-x)$$

como un vector. La primera ecuación da ahora $3c=-d$ de la cual $$c=\frac{1}{\sqrt{10}},\ \ d=-\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Por lo tanto, el conjunto $\{(1-x)/\sqrt{10},(1-3x)/\sqrt{10}\}$ es una posible ortonormal.
$\ $ $ \ $ Por supuesto que hay infinitos conjuntos ortonormales posibles, lo anterior fue una simple elección. La siguiente definición se deduce de forma natural.

Tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo determinamos $a^2 + b^2 = 1$ y $c^2 + d^2 = 1$ de $\|a + bx\| = 1$ y $\|c + dx\| = 1$ ? Esto parece similar a la norma de un número complejo $a + bi$ pero no estamos tratando con números complejos en este caso, ya que estamos tratando con el espacio de todas las funciones lineales reales, así que no estoy seguro de cómo se derivan?

2. Si tenemos $a = -b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ y $3c = -d$ entonces tenemos lo siguiente: $$\begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{2}}c + \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \right)c + \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) (-3c) \right] + \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \right)(-3c) = 0 \\ \rightarrow \dfrac{c}{\sqrt{2}} - \dfrac{c}{2 \sqrt{2}} - \dfrac{3c}{2\sqrt{2}} + \dfrac{c}{\sqrt{2}} = 0 \\ \rightarrow \dfrac{2c}{\sqrt{2}} - \dfrac{4c}{2\sqrt{2}} = 0 \\ \rightarrow 0 = 0\ ?\end{align}$$

¿He cometido un error? ¿Dónde está el $c = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ y $-\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ ¿de dónde viene?

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclararlos.

EDITAR:

En el libro de texto se demuestra lo siguiente:

Ejemplo C.3 Demostrar que $\|a\|=\sqrt{\langle\mathbf{a}.\mathbf{a}\rangle}\in V$ es efectivamente una norma para el espacio vectorial $V$ con el producto interno $\langle,\,\rangle$ .

Lo que parece sugerir que $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ?

Answer 1

Por definición de norma inducida del producto interior, $||x||^2 = \langle x,x\rangle$ .

Es decir, si $||a+bx|| = 1$ entonces $\langle a+bx,a+bx\rangle = 1$ por lo que escribir esto: $$ \int_{0}^1 (a+bx)(a+bx) dx = 1 \implies \int_0^1 (a^2 + 2abx + b^2x^2) dx = 1 \\ \implies a^2 + ab + \frac {b^2}3 = 1 $$

por tanto, la afirmación de que $a^2 + b^2 = 1$ es FALSO.

En realidad, esto es bastante claro con un ejemplo : $a=0 , b=1$ satisface $a^2+b^2 = 1$ y da el polinomio $x$ pero $||x||^2 = \int_0^1 x^2 = \frac 13$ Así que $||x|| \neq 1$ . En cambio, la otra afirmación dada es correcta. Sustitución de $a$ y $b$ por $c$ y $d$ le da la otra afirmación análogamente correcta.

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Una vez que esto suceda, puede establecer $a,b$ a cualquier valor adecuado, y comprueba lo que ocurre con $c$ y $d$ .

Por ejemplo, establezca $b = 0$ : de la ecuación anterior, esto obliga a $a = \pm 1$ , tomaremos $a =1$ .

A partir de la ecuación que $\langle a+bx,c+dx\rangle = 0$ que el autor ha derivado en su pregunta anterior, sustituyendo (y cancelando $b$ ) y reordenando se obtiene $2c+d = 0$ Así que $d = -2c$ .

Esto debe combinarse con $c^2 + cd + \frac{d^2}{3} = 1$ . Fijándolo, obtenemos $c^2(1 - 2 + \frac 43) = 1$ Así que $c^2 = 3$ . Sólo toma $c = + \sqrt 3$ Así que $d = -2\sqrt 3$ .

De esta manera, podemos comprobar que el polinomio $a+bx = 1$ y $c + dx = \sqrt 3(1 - 2x)$ forman una base ortonormal para el espacio.