Esto es de Calculus Early Transcendentals 8e de Stewarts, Capítulo 4, Problema Plus, #8. Los temas tratados en el capítulo 4 son: "Valores máximos y mínimos", "El teorema del valor medio", "Cómo afectan las derivadas a la forma de una gráfica", "Formas indeterminadas y regla de L'Hospital", "Resumen del trazado de curvas", "Graficación con cálculo y calculadoras", "Problemas de optimización", "Método de Newton" y "Antiderivadas".
El problema es: $$\lim_{x\to\infty}\frac{(x+2)^{1/x}-x^{1/x}}{(x+3)^{1/x}-x^{1/x}}$$
Encontré que los límites de cada término se convierten en 1, lo que hace que la fracción $\frac{0}{0}$ Así que intenté usar el de L'Hospital, pero realmente no ayuda, ya que las derivadas se vuelven aún más complicadas. Intenté racionalizar por arriba o por abajo, pero tampoco es muy fácil porque los exponentes contienen $x$ . También intenté utilizar el Teorema del Apretón, pero todo fracasó. Creo que hay una manera de racionalizar esto para simplificar y luego utilizar L'Hospital de allí, pero realmente no puedo encontrar una manera. Normalmente no me doy por vencido, pero como he estado luchando con esto durante un mes, creo que es hora de buscar ayuda de otros :( De acuerdo con los dispositivos de gráficos, parece que el límite se aproxima a $\frac{2}{3}$ . Quiero encontrar una manera de verificar esto sólo utilizando el cálculo elemental (sin expansión en serie, o etc) ya que creo que es como Stewart pretendía.
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Ver $x$ en exponentes así me dan ganas de empezar a tomar logaritmos, en el espíritu de la primera respuesta a esta pregunta . Eso podría ayudarte a avanzar en la dirección correcta.