Ejercicios sobre números primos en el anillo de números enteros Gaussian

Question

Deje $p$ ser una de las primeras en $\mathbb{Z}$ de la forma $4n + 1, n \in \mathbb{N}$. Mostrar que $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ (aquí se $\left(\frac{\#}{p}\right)$ es el símbolo de Legendre). Por lo tanto demostrar que $p$ no es un primo en el ring $\mathbb{Z}[i]$.

Aquí está mi solución:

Desde $p > 2$, $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ si y sólo si $(-1)^{\frac{p - 1}{2}} \equiv_p 1$ si y sólo$(-1)^{2n} \equiv_p 1$, lo cual es cierto.

Ahora supongamos $p$ es el primer en $\mathbb{Z}[i]$, lo que significa que no existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $-1 \equiv_p x^2$, a partir de que $p \mid (x^2 + 1) = (x - i)(x + i)$ y, desde $p$ es primo, $p \mid (x - i)$ o $p \mid (x + i)$. En cualquier caso tenemos $m + ni \in \mathbb{Z}[i]$ tal que $p(m + ni) = x \pm i$, lo que implica $pn = x$$p \mid x$, e $x^2 + 1 \equiv_p 1$, lo cual no es congruente a $0$, contradicción.

Es correcto? gracias de antemano

Edit: (he tratado de escribir mejor uso de Robert Sopa de asesoramiento)

Desde $p>2$ tenemos $(-1)^{(p-1)/2}\equiv_p (-1)^{2n} \equiv_p 1$$\left(\frac{-1}{p} \right)= 1$.

Ahora supongamos $p$ es el primer en $\mathbb{Z}[i]$, esto significa que no existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $x^2 \equiv_p -1$, por lo tanto $p \mid (x^2 + 1) = (x - i)(x + i)$ y, desde $p$ es primo, $p \mid (x + i)$. Por lo tanto, no existe $m + ni \in \mathbb{Z}[i]$ tal que $p(m + ni) = x + i$, pero esto es absurdo, porque $p$ no divide $1$. Podemos concluir que el $p$ no es primo en $\mathbb{Z}[i]$.

Answer 1

Para la primera parte, yo entiendo que usted está usando las leyes complementarias de la reciprocidad cuadrática, y por supuesto, el resultado es inmediato. Sin embargo, también puede resolver el problema sin que el teorema. Con la misma notación que en su declaración:

$\mathbb{F}_p^*$ es cíclica, de modo que existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $\bar{x}$ orden $p-1=4n$$\mathbb{F}_p^*$. Por lo tanto, $$(\bar{x}^{2n})^2=\bar{x}^{4n}=\bar{1}.$$ Debido a la orden de $\bar{x}$, se deduce que el $\bar{x}^{2n}=-\bar{1}$. Por lo tanto, si elegimos $y:=x^n$, obtenemos que $$y^2 \equiv -1 \mod p;$$ es decir, $$\left(\frac{-1}{p}\right)=1.$$

La segunda parte es también correcto, pero cuando llegue a $p(m+ni)=x\pm i$, sólo quiero decir que $pn=\pm 1$, lo $p \mid 1$; la contradicción.

Answer 2

Sí, es correcto, aunque me gustaría para descomprimir un poco, y trabajar con un determinado prime.

Desde $p > 2$, tenemos $$\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$$ if and only if $$(-1)^{\frac{p - 1}{2}} \equiv 1 \pmod p$$ if and only $(-1)^{2n} \equiv 1 \pmod p$, lo cual es cierto.

Hasta ahora tan bueno. La redacción es un poco torpe, pero yo debería ser capaz de simplemente conseguir más allá de eso.

Ahora supongamos $p$ es el primer en $\mathbb Z[i]$, lo que significa que no existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $-1 \equiv x^2 \pmod p$,

Lo siento, no me gusto su estilo de escritura de congruencias. Me dejaron sola cuando he editado tu pregunta, pero ahora que estoy citando en mi respuesta realmente tengo que cambiar a algo que me gusta más.

Yo también estoy teniendo un poco de un problema con $-1 \equiv x^2 \pmod p$, prefiero escribir $x^2 \equiv -1 \pmod p$, incluso a pesar de que significa la misma cosa.

Tal vez es porque realmente oscurece el significado de $x^2 \equiv -1 \pmod p$. Y que el significado es que la ecuación de $x^2 = kp - 1$ tiene soluciones en los enteros.

a partir de que $p \mid (x^2 + 1) = (x - i)(x + i)$ y, desde $p$ es primo, $p \mid (x - i)$ o $p \mid (x + i)$. En cualquier caso tenemos $m + ni \in \mathbb Z[i]$ tal que $p(m + ni) = x \pm i$, lo que implica $pn = x$$p \mid x$, e $x^2 + 1 \equiv 1 \pmod p$, lo cual no es congruente a $0$, contradicción.

Esto es perfectamente lúcido y correcta, pero no puedo evitar tener la sensación de que es posible ser más elegante sin llegar a ser demasiado avanzado (por ejemplo, grupos cíclicos). Tal vez Max va a elaborar su comentario en una respuesta.

Bueno, ahora a un ejemplo específico, con una privilegiada. Puedo elegir 41. Tenemos $$\left(\frac{-1}{41}\right) = (-1)^{20} = 1,$$ tal como esperábamos.

Esto nos dice que la congruencia $x^2 \equiv 40 \pmod{41}$ tiene soluciones, y de la misma manera que la ecuación de $x^2 = 41k - 1$. Esto debe de inmediato nos llevan a encontrar $9^2 = 2 \times 41 - 1$. A continuación,$(9 - i)(9 + i) = 82$.

En este momento estamos diciendo que el 41 es el primer en $\mathbb Z[i]$, lo que significa que cualquiera de las 41 divide $9 - i$ o se divide $9 + i$. Sin embargo, antes de llevar a cabo la división, aviso que $9 + i$ tiene incluso la norma. Debe ser divisible por cualquiera de las $1 - i$ o $1 + i$, tal vez ambas cosas.

Así que, a continuación, calculamos el $$\frac{9 + i}{1 - i} = \frac{(9 + i)(1 + i)}{2} = \frac{8 + 10i}{2} = 4 + 5i$$ and we verify that $N(4 + 5i) = 41$.

Ya que 41 de la norma es de 1681, sino $N(9 \pm i)$ es sólo 82, deberíamos habernos dado cuenta antes de que $41 \nmid (9 \pm i)$. Admito que no sé cuál es la manera más elegante de obtener de$9 \pm i$$4 \pm 5i$.