¿Implica que $e^0=1$ $0^0=1$?

Question

Una de las maneras de definir a $e^{x}$ es por su potencia de la serie $$ \left(\ast\right)\quad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots $$ El radio de convergencia de esta potencia de la serie es infinita por lo que este implica a todos los $x\in\mathbb{R}$.

Ahora como $0!=1$ (por definición supongo que) tenemos que $$ 1=e^0=\sum_{n=0}^\infty\frac{0^n}{n!}=\frac{0^0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\ldots=\frac{0^0}{1}=0^0 $$ y algo que definitivamente no se siente muy bien al conectar de que $0$ en esta serie.

En muchos lugares, $e^x$ está escrito en una forma más específica como $$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots $$ y por que parece que no supera el problema.

Pero si es que nosotros siempre comenzar por la primera tira de la $1$, y únicamente, a continuación, conectar el $x$ en ¿por qué no $e^{x}$ se define como $$ e^x=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{x^n}{n!} $$ en lugar de $\left(\ast\right)$? Es el término que se $\frac{0^0}{0!}$ en la suma apenas una notación para $1$?

Answer 1

Si desea mantenerse alejado de los problemas, entonces la última forma en que usted escribió esto puede ser la mejor. Esto es porque la función $x^y$ real $x$ $y$ generalmente se define como el $\exp(y\log x)$, e $\exp$ $\log$ son generalmente definidos por el poder de la serie, que requieren $x^k$ donde $k$ es un número entero. Esto es fácil de definir como "la multiplicación repetida", siempre y cuando no dejes $k=0$. Entonces, el poder de la serie de la definición implica que el $x^0 = 1$ para todos los distinto de cero real $x$. Sin embargo, no aporta valor cuando se $x=0$. Por límites, es claro ver que no hay ningún valor de $0^0$, lo que hace que $x^y$ continua en $(0,0)$, por lo que no hay "natural" opción en ese sentido. En este caso, la alimentación de la serie para $e^x$ no implica ningún tipo de valor de $0^0$.

Usted puede, por supuesto, frente a $k=0$ al principio, dejando $x^0 = 1$ para todos los verdaderos $x$ (incluyendo $0$). Esto, básicamente, elige $0^0$ $1$ como una convención, y un resultado de esto es que se simplifica el poder de la serie de la definición de las funciones exponenciales. Pero en este caso, la elección de $0^0=1$ implica que el poder de la serie para$e^x$$\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}$, no la otra manera alrededor.

Así que, no importa cómo se mire, el poder de la serie para $e^x$ no implica que $0^0 = 1$, sino que podemos elegir dejar $0^0 = 1$ implica la simplificación de alimentación de la serie para $e^x$.

Answer 2

Otras respuestas han utilizado series de taylor, la mina va a utilizar más básico calc matemáticas 1

$$\lim_{x\to0^+} 0^x=0$$

y

$$\lim_{x\to0^+}\;\; x^0=1$$

Como regla General, $0^0$ es indeterminado. Sin embargo, vamos a examinar la función cuando la base y de exponente ir a cero, la función de $x^x$, y tomar el límite cuando x->0

$$x^x = e^{x\ln(x)}$$

Podemos examinar el comportamiento de esta función mediante el examen de la conducta de la exponente y, a continuación, utilizarlo para determinar el comportamiento de la función

$$x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{x^{-1}}$$

El Uso De L'Hôpital

$$\lim_{x\to0}\;\;\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0$$

Desde la izquierda y el lado derecho del límite igual a 0, el límite de este exponente va a 0 y $0^0=1$ cuando el examen como este, pero como regla general, $0^0$ es indeterminado.

EDIT: Corrección de la respuesta

Answer 3

$0^0$ es igual a $1$ debido a la multiplicación por algo $0$ veces cantidades para no multiplicar por nada, lo que es lo mismo que multiplicar por $1.$

Sin embargo, al mismo tiempo, $\text{" } 0^0 \text{ ''}$ es una forma indeterminada, porque si $f\to0$ $g\to0$ $x\to\text{something,}$ $f^g$ puede acercarse a $0$ o $+\infty$ o $6$ o de cualquier otro miembro de $[0,+\infty],$ dependiendo de qué funciones $f$$g$. Sin embargo, en un sentido, en la mayoría de los casos el límite de $f^g$ $1.$ Uno de los casos es al $(f,g)\to(0,0)$ dentro de algunos "sector", es decir, se mantiene entre dos líneas con pendiente positiva en el $(f,g)$-plano.