Resto en la división con$22$

Question

¿Cuál es el resto obtenido cuando$14^{16}$ se divide con$22$?

¿Hay un método general para esto, sin usar la teoría de números? Deseo resolver esta pregunta utilizando solo el teorema binomial, quizás expresando el numerador como una sumatoria en la que la mayoría de los términos son divisibles por$22$, ¿excepto el resto?

¿Cómo debo proceder? ¡Gracias!

Answer 1

Puede usar expansiones binomiales y ver que$$14^{16} = (22 - 8)^{16}$ $ implica que el resto es solo el resto cuando$(-8)^{16}( = 8^{16})$ se divide por$22.$ Procediendo de manera similar,

$8^{16} = 64^8 = (66 - 2)^8 \implies 2^8 = 256 \text{ divided by } 22 \implies \text{remainder = 14}$

Answer 2

Como$$ 14^2 \equiv -2 $$ so $$14^{16} \equiv (-2)^8 \equiv 16^2\equiv (-6)^2 \equiv 14$ $

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o

ps

Answer 3

Un método que usa FLT.

Encontrar el resto al dividir$14^{16}$ entre$22$ es equivalente al doble que al dividir$7\cdot14^{15}$ entre$11$.

Por FLT,$14^{10}\equiv1\pmod{11}$ so$$7\cdot14^{15}\equiv7\cdot14^5\equiv98\cdot196\cdot196\equiv-1\cdot(-2)\cdot(-2)\equiv-4\equiv7\pmod{11}$$ hence the required remainder is $ 7 \ times 2 = 14 $.

Answer 4

Utilizando el Algoritmo de Euclides

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} 14^{16}&\equiv0&\pmod2\tag1 \end{align} $$ La reducción de mod $11$ y el uso de Fermat Poco Teorema, tenemos $$ \begin{align} 14^{16} &\equiv3^6&\pmod{11}\\ &\equiv3&\pmod{11}\tag2 \end{align} $$ La solución de $11a+2b=1$ usando el Algoritmo de Euclides , como el implementado en esta respuesta, $$ \begin{array}{r} &&5&2\\\hline 1&0&1&-2\\ 0&1&-5&11\\ 11&2&1&0\\ \end{array}\tag3 $$ tenemos $$ 11(1)+2(-5)=1\tag4 $$ de la que podemos obtener $$ \begin{align} -10&\equiv0&\pmod2\\ -10&\equiv1&\pmod{11} \end{align}\tag5 $$ Multiplicando $(5)$ $3$ da $$ \begin{align} -30&\equiv0&\pmod2\\ -30&\equiv3&\pmod{11} \end{align}\tag6 $$

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Utilizando el Teorema del Resto Chino

El Teorema del Resto Chino dice que la solución a $(6)$ es único mod ${22}$. Por lo tanto, obtenemos la menor solución positiva a ser $$ \begin{align} 14&\equiv0&\pmod2\\ 14&\equiv3&\pmod{11} \end{align}\tag7 $$ Así, $(1)$, $(2)$, y $(7)$ rendimientos $$ \begin{align} 14^{16}&\equiv14&\pmod{22}\tag8 \end{align} $$