¿Hay una manera de resolver las ecuaciones exponenciales compuestas precisamente?

Question

Tengo una, aparentemente, trivial pregunta. Encontrar $x$ tal que $$ l = x^x, $$ para algunos el valor de la constante $l \in \mathbb{R}^{>0}$$x \in \mathbb{R}^{>0}$.

Obviamente, esta ecuación tiene una única solución que puede aprroximated. Neverthelss, creo que no es un método obvio para resolver esta ecuación precisly, ni puedo encontrar uno en este sitio web o el uso de google. Tal vez soy sólo falta la terminología adecuada para expresar la pregunta.

EDIT: yo también estaría bien con una buena explicación de por qué es difícil o no es posible.

EDIT 2: Como se discute en los comentarios, la ecuación tiene, por supuesto, no hay una única solución para $l, x \in \mathbb{R}^{>0}$ como se indica por mí anteriormente.

Answer 1

$$\ln l=x\ln x$$ Deje $x=e^u$, $$\ln l=ue^u$$ $$W_k(\ln l)=u$$ $$W_k(\ln l)=\ln x$$ $$\color{Red}{x=e^{W_k(\ln l)}=\frac{\ln l}{W_k(\ln l)}}$$

Hay infinitamente muchas ramas de la función W de Lambert, y el $k$th rama se denota como $W_k$.

Sólo $W_0$ $W_{-1}$ aceptar un argumento real y devolver un valor real. Por lo $k$ es $0$ o $-1$.

Como su $l$ es grande(como se menciona en su comentario), sólo $W_0$ puede ser utilizado debido a que $W_{-1}$ es real sólo para $-\frac1e\le x<0$.

También, a menudo, es un inconveniente para calcular W funciones. Una aproximación es $$W_0(x)=\ln x-\ln\ln x+ o(1)$$ for large $x$.

Por lo tanto, la solución a $x^x=l$ también se puede aproximar como $$x\approx e^{\ln\ln l-\ln\ln\ln l}=\frac{\ln l}{\ln\ln l}$$

NOTA: Usted necesita $\ln l$ a ser lo suficientemente grande para la aproximación, y por lo $l$ tiene que ser muy grande. Incluso $\ln 10000$ está a la vuelta de $9.21$, que no es lo suficientemente grande para la aproximación.

Answer 2

Permítame presentarle un precioso poco polivalentes $W$ llamada la función W de Lambert . $W$ se define como la inversa de la función $$f(x) = xe^x.$ $ (por desgracia, esta función no es inyectiva, así $W$ a veces toma dos valores.) Esencialmente $W$ se define por la relación $$W(x) e^{W(x)} = x$ $ % los $x$.

¿Cómo nos ayuda esto? Podemos usar esto para resolver la ecuación anterior. Tenemos $$x^x = l \iff \ln x \cdot e^{\ln x} = \ln l,$de % $ % que $\ln x = W(\ln l)$, por lo tanto, $x = e^{W(\ln l)}$.

Answer 3

Depende de lo que quieres decir con "precisión". Sólo los números racionales pueden representados por un número finito de decimales, así que cualquier número real sólo puede ser aproximada por métodos numéricos, o representados por una expresión matemática como "raíz cuadrada". $x \rightarrow x^x$ es continua y creciente $x>1$, por lo que es 1:1. Así que la cardinalidad de $l$ tal que $x$ es racional es el mismo como el cardinal de los racionales, así que "casi todos" $l$ dará como resultado irracional $x$.