Cómo demostrar una implicación dentro de un if and only if

Question

Suponga que tiene que demostrar que $A\iff (B\implies C)$ .

Las dos formas de demostrarlo son:

---

(1a): Supongamos que $A$ y $B$ son verdaderos. Demostrar que $C$ es cierto.

(1b): Supongamos que $B$ y $C$ son verdaderos. Demostrar que $A$ es cierto.

---

(2a): Supongamos que $A$ y $B$ son verdaderos. Demostrar que $C$ es cierto.

(2B): Supongamos que $A$ no es verdadera y B es verdadera, demuestre que $C$ no puede ser cierto.

---

¿Son correctas estas formas? Siempre me confunde lo que se puede suponer y lo que hay que probar cuando hay múltiples implicaciones y demás en una misma declaración.

Answer 1

Ayuda a llamar a $D$ la declaración $B\implies C$ . Hay que demostrar $A\iff D$ . Así que tenemos que demostrar que $A$ implica $D$ y $D$ implica $A$ . Esto significa, de nuevo, que, asumiendo $A$ debe seguir $C$ si asumimos $B$ y a la inversa, que siempre que $C$ se desprende de $B$ entonces $A$ sigue. Ahora compruebe su $4$ declaraciones de acuerdo con este razonamiento.

Answer 2

Prueba ambas direcciones:

Adelante: suponer A, demostrar ( $B \implies $ C). Esto significa "supongamos que A y B son verdaderas. Demuestre que C es verdadera".

Reverso: Supongamos que ( $B \implies $ C), demuestre A. Por lo tanto, no "Suponga que B y C son verdaderos. Demostrar que A es verdadera". En su lugar, "suponga que la verdad de B implica la verdad de C, entonces demuestre que A es verdadera". $1b$ es incorrecto . Ahora bien, la inversa también puede interpretarse como suponer que A no es cierto, demostrar ( $B \implies $ C) no es verdadera por el contrapositivo. Lo que significa que hay que demostrar $B$ es verdadera y $C$ es falso. Así que no "Supongamos que A no es verdadero y B es verdadero, demuestre que C no puede ser verdadero". En su lugar, "Supongamos que A no es verdadera, demuestre que B es verdadera y demuestre que C no puede ser verdadera". $2b$ es incorrecto.

Answer 3

Pista 1: Hay 6 maneras de probar $P\implies Q$ :

1. Supongamos que $P$ , entonces demuestre que $Q$
2. Supongamos que $\neg Q$ , entonces demuestre que $\neg P$
3. Prueba $\neg P$
4. Prueba $Q$
5. Prueba $\neg[P \land \neg Q]$
6. Prueba $\neg P \lor Q$

Pista 2: Para demostrar $P\iff Q$ , demuestre que $P\implies Q$ , entonces demuestre que $Q\implies P$