Demostrar la siguiente serie converge

Question

Deje $u, v, w$ ser números reales tales que a $u+v+w=0$. Supongamos que $\{b_k\colon k=0,1,2,\dots\}$ es una secuencia de números reales tales que a $\lim_{k\to\infty} b_k=0$. Para $k=0,1,2,\dots$ definir

$a_{3k}=u b_k,$ $a_{3k+1}= v b_k,$ $a_{3k+2} = w b_k.$

Demostrar que la serie $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n$ converge.

Estoy teniendo un thouhg problema con esto, alguna idea de que me va a apreciar.

Answer 1

Deje $S_n=\sum_{k=0}^n a_k.$

el uso de $u+v+w=0$,

tenemos

$$S_{3n+2}=0,$$

$$S_{3n+1}=-wb_n$$

y

$$S_{3n}=ub_n.$$

así, desde la $b_n \to 0,$ los tres subsecuencias $(S_{3n}), (S_{3n+1})$ $(S_{3n+2})$

convergen a $0$, y podemos decir que

la suma parcial de la secuencia de $(S_n)$

convergen con la serie de la $\sum a_n$.

Answer 2

Veamos $c_{3k}=u,\ c_{3k+1}=v,\ c_{3k+2}=w$. Por la prueba de Dirichlet, tenemos que mostrar que $\sum_{k=0}^N c_k$ es limitado y que $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.

Claramente, tenemos

$$\sum_{k=0}^N c_k\le\sum_{k=0}^Mc_k$$

para algunos $M\in[0,1,2]$ y ya tenemos a $\lim_{n\to\infty}b_n=0$, lo que significa que

$$\sum_{k=0}^\infty c_kb_k$$

converge.