¿Cómo puedo mostrar este conjunto de secuencias es compacto?

Question

He estado dándole vueltas a esta idea para un cargo, mientras que ahora, con poco progreso. Tal vez alguien de aquí va a tener más éxito con él.

Aquí, vamos a $\ell_1$ el conjunto de los reales valores de las secuencias de $\{x_n\}$ tal que $\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n|\lt\infty$, y deje $\ell_\infty$ el conjunto de los reales valores de secuencias que $\sup_{n\in\mathbb{N}}|y_n|\lt\infty$. Supongamos que equipar $\ell_\infty$ con el más áspero de la topología de tal manera que todas las funciones de asignación de $\{y_n\}\mapsto\sum_{n\in\mathbb{N}}x_ny_n$$\{x_n\}\in\ell_1$, son continuos desde la $\ell_\infty$$\mathbb{R}$.

Hay una prueba de que el conjunto de $\{\{y_n\}\mid \sup_{n\in\mathbb{N}}|y_n|\leq 1\}$ es compacto? Gracias.

Edit: Gracias por las respuestas hasta ahora. Quería añadir una cosa. Es posible demostrar esto de una manera que utilizando sólo técnicas de topología general? No he estudiado el análisis funcional, y preferiría no tener que recurrir a un teorema que no han leído a convencer a mí mismo de esta. Si no, supongo que sé lo que tengo que aprender a continuación.

Answer 1

El desarrollo de Jose comentario:

Podemos identificar a $(\ell^1)^*$ $\ell^\infty$ porque cada continuo funcional $f$ $\ell^1$ puede ser escrito como $f(x)=\sum_{k\geq 0}x_ku_k$ con $(u_k) \in \ell^\infty$.

El más áspero de la topología en $\ell^\infty\equiv (\ell^1)^*$ de manera tal que todas las asignaciones $(y_n) \to \sum_{k \geq 0} x_ky_k$ son continuos, donde $(x_k)$ se ejecuta a través de $\ell^1$ es el débil* topología $\sigma((\ell^1)^*\equiv\ell^\infty,\ell_1)$.

El Banach-Alaoglu Teorema establece que la unidad de la bola es compacto en la débil* topología y eso es exactamente lo que pides.

Answer 2

Como otros han mencionado, este es un caso particular de la de Banach-Alaoglu teorema. Pero realmente que es una simple aplicación de la topología general, a saber, el teorema de Tychonoff.
Deje $P = \prod_{x \in \ell_1} [-\|x\|,\|x\|]$, que es compacto por el teorema de Tychonoff.
Hay una natural incrustación $\iota$ su $B = \{y \in \ell_\infty: \|y\| \le 1\}$ a $P$$\iota(y)_x = \sum_j y_j x_j$, y es fácil ver que esto es un homeomorphism, debido a su topología se corresponde exactamente con el producto de la topología. Así que todo lo que usted necesita es demostrar que el $\iota(B)$ es cerrado en $P$. Pero $\iota(B)$ se compone de los miembros de $P$ que son lineales, es decir, satisfacer $p_{ax+by} = a p_x + b p_y$ todos los $x, y \in \ell_1$ $a,b \in \mathbb R$ ($p$ define un miembro de $\ell_\infty$ $y_j = p(e_j)$ donde $e_j$ es el miembro de $\ell_1$ $(e_j)_j = 1$ y todos los demás elementos 0). Es decir, $\iota(B)$ es la intersección de los conjuntos cerrados $K(a,x,b,y) = \{p: a p_x + b p_y\}$ $x, y \in \ell_1$ $a,b \in \mathbb R$ , por lo que está cerrado.