La prueba de una desigualdad acerca de un sequnce con Cauchy-Schwarz

Question

mostrar que $$\sum\limits_{i=1}^n \frac{x_i}{i^2} \geq \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots +\frac{1}{n}$$ donde $x_1,x_2,\dots,x_n$ son números naturales, y todos ellos son diferentes números ($x_i=x_j$) el maestro dice que usted puede probar por lo que es una forma de Cauchy de la desigualdad.

cosa que he tratado de hacer de la desigualdad de Cauchy y mostrar el mismo como signo de la desigualdad:

multiplicar el lado izquierdo por $(1^2+2^2...+n^2)$.

multiplicar el lado derecho por $$\sum\limits_{i=1}^n \frac{i^2}{x_i}$$

y en ninguno de ellos, que fue un éxito.

Answer 1

Por el Reordenamiento de la Desigualdad (pero no necesitamos nada más que general) el lado izquierdo es mínimo, fijo $x_i$, si el $x_i$ están aumentando. Y, a continuación, se alcanza el mínimo si el $x_i$ tan pequeñas como sea posible, lo que da $x_i=i$.

Nota: Si no queremos citar el Reordenamiento de la Desigualdad, es claro que si $i\lt j$$x_i \gt x_j$,$\frac{x_i}{i^2}+\frac{x_j}{j^2} \gt \frac{x_j}{i^2}+\frac{x_i}{j^2}$.

Answer 2

Una prueba sólo con Cauchy-Schwarz:

De Cauchy-Schwarz, uno tiene que $$ (\sum_i \frac{1}{x_i})(\sum_i \frac{x_i}{i^2}) \ge (\sum_i \frac{1}{i})^2. $$ Pero desde $\sum_i \frac{1}{x_i} \le \sum_i \frac{1}{i}$, uno tiene que $$ \sum_i \frac{x_i}{i^2} \ge \frac{(\sum_i \frac{1}{i})^2}{\sum_i \frac{1}{x_i}} \ge \frac{\sum_i \frac{1}{i}}{\sum_i \frac{1}{x_i}} \sum_i \frac{1}{i} \ge \sum_i\frac{1}{i}. $$

Answer 3

Dar - Además de Andrés respuesta - una solución con la de Cauchy-Schwarz inqquality, dejamos $\xi_i := \frac{\sqrt{x_i}}i$, e $\eta_i := \frac{1}{\sqrt{x_i}}$. Entonces, por Cauchy-Schwarz \begin{align*} \sum_i \frac 1i &= \sum_{i} \xi_i \eta_i \\ &\le \left(\sum_{i} \xi_i^2\right)^{1/2} \left(\sum_i \eta_i^2\right)^{1/2}\\ &= \left(\sum_i \frac{x_i}{i^2}\right)^{1/2} \left(\sum_i \frac 1{x_i}\right)^{1/2} \end{align*} Ahora elija un $\sigma \in S_n$ tal que $x_{\sigma(1)} < \ldots < x_{\sigma(n)}$,$x_{\sigma(i)}\ge i$, dando $$ \sum_i \frac 1{x_i} = \sum_j \frac 1{x_{\sigma(j)} }\le \sum_j \frac 1j $$ Continuando por encima de $$ \sum_i \frac 1i \le \left(\sum_i \frac{x_i}{i^2}\right)^{1/2} \left(\sum_i \frac 1i\right)^{1/2} $$ Por lo tanto el buceo por $\left(\sum \frac 1i\right)^{1/2}$ y el cuadrado da el resultado.