Por favor alguien puede explicar cualitativamente grupo unitario a partir de una perspectiva de la física?

Question

Unitario de los Grupos es de lo más misterioso para mí a la hora de estudiar física. Todos mis física esfuerzo termina cuando el autor comienza a hablar sobre unitario grupos. Esto es a menudo el caso, ya que en muchos de los textos o documentos que el autor iba a tirar términos como $SU(3)$, $SU(5)$ sin el trasfondo de la motivación.

Cuando usted busca para algunas de las respuestas en línea, usted consigue a menudo puramente matemático de tratamiento (es decir, artículo de Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Special_unitary_group) o algo relacionado con la teoría cuántica de campos. Ahora me recuerdan cuántos años de estudio de la física alcanzar QFT?

Podría alguien explicar cualitativamente o proporcionar un buen artículo que motiva el concepto de grupo unitario con ejemplos extraídos de ... cada día la experiencia o de la física básica. Podría alguien por lo menos explicar lo que un elemento de un grupo unitario físicamente significa?

Answer 1

Para desarrollar la intuición física detrás unitario grupos, es útil tener la intuición de la noción de transformaciones unitarias, en general, desde unitario grupos son solo grupos de transformaciones unitarias.

Es útil comenzar con los objetos matemáticos que son un poco más "familiar" en la física clásica -- rotaciones, que también se conocen como transformaciones ortogonales. Por qué? Porque transformaciones unitarias son básicamente la misma cosa como transformaciones ortogonales al iniciar el uso de números complejos (complex espacios vectoriales) en lugar de los números reales.

Recordemos que las rotaciones en tres dimensiones espaciales son simplemente transformaciones que no cambie el punto de los productos entre vectores; \begin{align} R\mathbf v\cdot R\mathbf w = \mathbf v \cdot \mathbf w. \end{align} Recordemos también que en la física clásica, las rotaciones son especiales porque los observadores con ejes que se gira con respecto a la otra medida de la misma física. De hecho, la rotación de grupo es un subgrupo del grupo de Lorentz, que conecta las mediciones de dos observadores inerciales. El mismo tipo de idea, que un cierto tipo de transformación deja algo acerca de lo que iba a medir en el mundo real, puede ser utilizada para entender transformaciones unitarias así.

Supongamos que usted está trabajando con un espacio vectorial sobre los números complejos donde existe una noción de "producto escalar." En este contexto más general, un producto que se llama generalmente un producto interior, y en este contexto podemos volver a considerar la posibilidad de transformaciones que no cambian el interior de los productos entre vectores \begin{align} \langle Uv, Uw\rangle = \langle v,w\rangle \end{align} y estos chicos son llamados unitaria de las transformaciones.

Pero ahora usted podría preguntar: "bueno, quién diablos le importa acerca de esta materia en la física. Quiero decir, ¿qué tiene esto nada que ver con nada en el mundo físico?" En mi opinión, la mejor respuesta para esto viene de la mecánica cuántica. La mecánica cuántica tiene en sus cimientos complejo espacios vectoriales con interior de los productos desde la (puro) estados de los sistemas cuánticos son vectores en el complejo de los espacios vectoriales, y el interior de los productos de estos vectores permiten calcular las probabilidades de ciertos medición de resultados.

En este contexto, transformaciones unitarias llegar a ser muy físico y muy importante; se puede pensar en ellos como la simetría de las transformaciones en el sistema cuántico porque se conservan en el interior del producto, que determina la medición de las probabilidades. En otras palabras, transformaciones unitarias no cambiar de medición de los resultados de la mecánica cuántica. Esta es una especie de cómo las rotaciones no cambiar lo que un observador mide en la física clásica.

Para obtener más detalles y una comprensión más profunda de lo que estoy hablando aquí con respecto a transformaciones unitarias y su importancia en la descripción de la simetría en la mecánica cuántica, considere la posibilidad de leer acerca del Teorema de Wigner en las simetrías en mecánica cuántica.

Usted también puede encontrar lo siguiente para ser útil:

¿Qué es una simetría de un sistema físico?

Answer 2

Si usted se siente cómodo con la normativa complejo de espacios vectoriales (como el 'ol Hilbert espacios de la mecánica cuántica), entonces unitario grupos son muy naturales. Ellos son los ortogonal grupos del complejo mundo: longitud-la preservación de los mapas. Específicamente, $U(n)$ es el conjunto de todas las funciones en $\mathbb{C}^n$ que preservan la norma $u^\dagger u$ todos los $u\in\mathbb{C}^n$.

Answer 3

Como usted probablemente sabe, en la mecánica cuántica, la normalización de los vectores de estado (resp. las funciones de onda) representa la normalización o probabilidades. Escrito formalmente, la expectativa de valor de observables $A$ estado$\left|\psi\right\rangle$$\left\langle\psi\right|A\left|\psi\right\rangle$, y la normalización básicamente garantiza que la expectativa de valor de una constante es la constante, $\left\langle\psi\right|1\left|\psi\right\rangle = \left\langle\psi\middle|\psi\right\rangle=1$. En última instancia, esto no es nada, pero la demanda que probabilidades hay que sumar a $1$.

Ahora al hacer transformaciones, por ejemplo, tiempo de evolución, que sin duda desea asegurarse de que esta normalización condición se conserva. Además están interesados en invertir las operaciones (por ejemplo, tiempo de evolución de cerrado de los sistemas cuánticos es invertible). Tenga en cuenta que este supuesto sólo es necesario para el infinito-dimensional de Hilbert espacios; para finito-dimensional de Hilbert espacios, ya que la demanda de la norma de conservación es suficiente.

Ahora bien, si llamamos (en previsión del resultado) la transformación de $U$, entonces la transformada (en el caso de la evolución en el tiempo, más adelante) estado de lee $\left|\phi\right\rangle = U \left|\psi\right\rangle$. Ahora la normalización de la condición lee $$\left\langle\phi\middle|\phi\right\rangle = \left\langle\psi\right|U^\dagger U\left|\psi\right\rangle$$ y desde que uno tiene que llevar a cabo para todos los $\left|\psi\right\rangle$, se deduce que el $U^\dagger U = 1$, que, desde el $U$ iba a ser invertible, significa $U^\dagger = U^{-1}$. Pero que es exactamente la definición de una transformación unitaria.

OK, así que ahora tenemos unitaria de transformación, pero ¿qué es un grupo unitario? Así, un grupo unitario es simplemente un conjunto de transformaciones unitarias con ciertas propiedades:

• Contiene la identidad de la transformación (es decir, no hacer nada; ciertamente, esto no cambia la normalización, y por lo tanto es un unitario de transformación).
• Para siempre dos transformaciones, también contiene su producto (la aplicación de una operación después de la otra; no es difícil comprobar que el producto de dos transformaciones unitarias, es de nuevo una transformación unitaria, como la no modificación de la norma dos veces ¿todavía no la cambio).
• Para cada transformación, también contiene la transformación inversa (la transformación inversa de una transformación unitaria es, obviamente, también una transformación unitaria).

Veamos un ejemplo de cómo finito unitario grupos de entrar en la mecánica cuántica, mucho antes de llegar a la teoría cuántica de campos.

El ejemplo es el de la vuelta: Usted ya sabe que el electrón tiene una propiedad cuántica llamado "spin", que es una especie de momento angular que no está conectado a la rotación, sino una propiedad intrínseca del electrón. Cuando medidos en cualquier dirección, usted puede conseguir sólo uno de dos valores, "giro" (usualmente denotado por $\left|\uparrow\right\rangle$) y "la vuelta abajo" (usualmente denotado por $\left|\downarrow\right\rangle$). Por lo tanto, de acuerdo con el principio de superposición (y por el momento ignorando el espacio de la dependencia de la función de onda), la más general de spin estado de un electrón es $$\left|\psi\right\rangle = \alpha\left|\uparrow\right\rangle + \beta\left|\downarrow\right\rangle,\quad \left|\alpha\right|^2+\left|\beta\right|^2=1$$ donde la condición es debido a la normalización de la restricción.

Sin embargo, recuerde que el "giro" y "la vuelta abajo" los estados se define en relación a una dirección determinada. Pero sabemos que la naturaleza es isotrópico, es decir, no tiene una dirección preferida (un determinado experimento puede, por supuesto, imponer una dirección especial, por ejemplo a través de un campo magnético externo). Por lo tanto, debe ser posible para describir el mismo estado con el "giro" y "giro" de los estados de cualquier otra dirección (que es el mismo que para girar el marco de referencia). Decir, el "giro" y "giro" de los estados correspondientes a la otra dirección se $\left|\uparrow'\right\rangle$$\left|\downarrow'\right\rangle$. Entonces tenemos $$\left|\psi\right\rangle = \alpha \left|\uparrow\right\rangle + \beta\left|\downarrow\right\rangle = \gamma \left|\uparrow'\right\rangle + \delta \left|\downarrow'\right\rangle$$ Evidentemente, para apoyar superposiciones, la transformación de $(\alpha, \beta)$ $(\gamma, \delta)$tiene que ser lineal; también es evidente que ha de ser invertible, porque podemos leer que la ecuación en ambas direcciones. Finalmente, por supuesto que tiene que obedecer a la normalización de las condiciones en ambas descripciones.

Así que para obtener de $(\alpha, \beta)$ $(\gamma, \delta)$tenemos que aplicar una invertible, norma-la reserva de operación lineal, es decir, es una operación unitaria. El conjunto de operaciones unitarias en la dimensión dos (tenemos dos números de aquí!) es conocido bajo el nombre de $U(2)$. Sin embargo resulta que no necesitamos todas esas. La razón es que una fase global sobre el estado del vector no cambia el estado físico. Ahora transformaciones unitarias de tener siempre un determinante con valor absoluto $1$. Desde la fase no importa, siempre se puede elegir de modo que el factor determinante es en realidad $1$. De hecho, esas transformaciones, conocido como "especial de operaciones unitarias", volver a formar un grupo, $SU(2)$. Y resulta que tenemos todos de $SU(2)$ a describir rotaciones de la tirada.

En este punto, probablemente no se sorprendió al escuchar que hay una estrecha relación del grupo $SU(2)$ con el grupo $SO(3)$ de las rotaciones en el espacio. De hecho, por cada $SU(2)$ transformación, existe exactamente una correspondiente $SO(3)$ transformación. La inversa no es verdadera; en lugar de para cada una de las $SO(3)$ transformación hay dos $SU(2)$ transformaciones. Sin embargo, esas dos transformaciones sólo difieren en el signo, y por lo tanto no hay que hacer una diferencia física (sin embargo, tiene implicaciones profundas que usted no puede deshacerse de este signo, a diferencia con el resto de la fase cuando se va de$U(2)$$SU(2)$).