Mostrar la siguiente si $p$ es el prime

Question

Si $p$ es el primer y $ a \ge 2$, demostrar que $$ d = (a - 1, \frac{a^p - 1} {- 1}) = \begin{cases} p & \text{if } p \mid (a - 1)\\ 1 & \text{if } p \nmid (a - 1) \, . \end{casos} $$

Estaba pensando que ya que $(a^p-1)/(a-1) = (a^{p-1}+a^{p-2}+...+1)$ si p divide a a-1, entonces p debe dividir $(a^{p-1}+a^{p-2}+...+1)$ ??

Answer 1

Nos encontramos con el resto cuando el polinomio $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1$ se divide por $x-1$. Esto es$f(1)$,$p$.

Por lo que el mcd de a $a-1$ $f(a)$ es el mismo que el mcd de a$a-1$$p$, y hemos terminado.

Answer 2

Deje $d=\gcd(a-1,\frac{a^p-1}{a-1})$, ahora vamos a $q$ ser un primer dividiendo $a-1$ y deje $v_q(a-1)$ ser el mayor poder de la $q$ dividng $a-1$,mediante la elevación del exponente lema tenemos: $$v_q\left(\frac{a^p-1}{a-1}\right)=v_q(a^p-1)-v_q(a-1)=v_q(p)$$.

• Si $q\neq p$ $v_q\left(\frac{a^p-1}{a-1}\right)=0$ $q$ no divide $d$.
• Si $q=p$ $v_q\left(\frac{a^p-1}{a-1}\right)=1$ por lo que el mayor poder de la $p$ dividiendo $\frac{a^p-1}{a-1}$ $p$ por lo tanto el poder mayor poder de $p$ dividiendo $d$$p$.

Finalmente,$d=p$.