Ejemplo de una medida de Borel que no es regular de Borel

Question

He formulado una pregunta para encontrar cuatro tipos de medidas exteriores aquí y pude encontrar tres de los cuatro ejemplos.

Llamamos a una medida exterior $\mu: \mathcal P(\mathbb R^n) \to [0, \infty]$ Borel si todo conjunto de Borel $B \subset \mathbb R^n$ es $\mu$ -medible. Decimos que una medida exterior $\mu: \mathcal P(\mathbb R^n) \to [0, \infty]$ es Borel-regular , si $\mu$ es Borel y para cualquier subconjunto $A \subset \mathbb R^n$ existe un conjunto de Borel $B \supset A$ , de tal manera que $\mu(A) = \mu(B)$ .

Me gustaría dar un ejemplo de una medida de Borel, que no es Borel-regular. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Toma un juego $C\subset\mathbb{R}^n$ que no es Borel. Para cada $X\subset \mathbb{R}^n$ , dejemos que $$ \mu(X) = \begin{cases} 0 & \text{if } X\subset C; \\ \infty & \text{if } X\not\subset C. \\ \end{cases} $$ Se trata de una medida sobre el conjunto de $P(\mathbb{R}^n)$ . En particular, todos los conjuntos de Borel son medibles.

Para todo conjunto de Borel $B\supset C$ tenemos $\mu(B)=\infty> 0=\mu(C)$ Así que $\mu$ no es Borel-regular.