Deje $X_1, X_2$ dos ortogonal en todas partes no-cero campos vectoriales en una completa Riemann colector $M$. Se puede resolver resolver el sistema de $$X \phi = 1, Y\phi = 0,$$ $$X\psi = 0, Y\psi = 1 ?$$ donde $\phi, \psi \in C_0^\infty (M)$? No estoy muy seguro de que esto se puede hacer siempre, pero puede ser que hay buenas condiciones suficientes, conocido por tales sistemas lineales?
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Supongo que estás usando $C^\infty_0(M)$ con su habitual sentido del conjunto de lisa, compacta compatible, con un valor real de las funciones de $M$. Si es así, entonces la respuesta es que nunca hay soluciones globales.
Si $M$ es noncompact y $\phi\in C^\infty_0(M)$, entonces no va a ser un subconjunto de a $M$ donde $\phi\equiv 0$, lo que contradice $X\phi = 1$. Por otro lado, si $M$ es compacto, entonces $X$ $Y$ están completas, lo que significa que cada curva integral se define para todos los $t\in \mathbb R$. Si $\gamma\colon \mathbb R\to M$ es una curva integral de $X$, dicen, a continuación, $$ \frac{d}{dt} \phi(\gamma(t)) = X\phi(\gamma(t)) = 1, $$ por lo $\phi(\gamma(t)) = t+c$ para algunas constantes $c$. Esto contradice el hecho de que toda función continua en un compacto espacio es limitado.
Así que no hay forma compacta soluciones compatibles. Supongamos que nos fijamos en lugar de buscar soluciones globales que no son necesariamente de forma compacta compatible. Si $M$ es compacto, cada función es de forma compacta compatible, por lo que el argumento anterior muestra que no existen soluciones globales en ese caso. Si $M$ es noncompact, es posible que todavía haya ningún soluciones globales. Por ejemplo, como @Anthony Carapetis mencionado, no habrá soluciones si $X$ o $Y$ tiene cerradas curvas integrales. De hecho, si $X$ tiene una curva integral que permanece en un subconjunto compacto de $M$ para todos positivos o negativos, luego el mismo argumento que conduce a una contradicción, por lo que de nuevo no hay soluciones. La cuestión de la existencia de soluciones globales es así, sutilmente atado con la topología de $M$ y de las foliaciones determinado por $X$$Y$, y dudo de que hay una simple respuesta general.
Lo que nos lleva a la cuestión de las soluciones locales. Como @Anthony Carapetis mencionado, una condición suficiente para la existencia de soluciones locales en una vecindad de cada punto es $[X,Y]\equiv 0$. Una referencia de esto es el Teorema de 9.46 en mi Introducción a la Suave Colectores.
Cuando la dimensión de la $M$$2$, el mismo teorema muestra que esto también es necesario, ya que cualquier par de funciones $(\phi,\psi)$ formas de coordenadas locales en $M$. (Y, de paso, cabe señalar que esto implica el dado métrica de Riemann es plana, por lo que la curvatura de la métrica es otra condición necesaria. Ver Teorema 13.14 en el mismo libro).
Sin embargo, en las dimensiones superiores, la condición de $[X,Y]\equiv 0$ no es necesario. He aquí un ejemplo en $3$ dimensiones para las cuales no existen soluciones globales. Definir campos vectoriales $X$ $Y$ $\mathbb R^3$ por $$ X = \frac{\partial}{\partial x} - y\frac{\partial}{\partial z}, \qquad Y = \frac{\partial}{\partial y} + x\frac{\partial}{\partial z}. $$ A continuación,$[X,Y] \ne 0$, pero $\phi(x,y,z) = x$ $\psi(x,y,z)=y$ global de soluciones para el problema. (Si desea relacionar esto con una métrica de Riemann, solo dejo $g$ ser la métrica para que $\{X,Y,\partial/\partial z\}$ es una base ortonormales.)
Así, uno podría preguntarse si (local) soluciones que siempre existen en las dimensiones superiores. Pero ese no es el caso: Por ejemplo, de nuevo en $\mathbb R^3$, si ponemos $$ X = \frac{\partial}{\partial x}, \qquad Y = \frac{\partial}{\partial y} + x\frac{\partial}{\partial x}, $$ a continuación,$[X,Y]=X$, y cualquier solución de $\phi$ tendría que satisfacer $$ 1 = X\phi = [X,Y]\phi = X(Y\phi) - Y(X\phi) = X(0) - Y(1) = 0, $$ una contradicción.
No he averiguado si hay una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones locales en dimensiones superiores. Pregunta interesante.
