¿Cuándo se entiende por cerrado local?

Question

Supongo que esto es falso en general: Un mapa de espacios topológicos $f:X \to Y$ está cerrado si es localmente cerrado es decir, hay una cubierta abierta $\{V_i \hookrightarrow X\}$ de tal manera que cada $f|_{V_i}$ está cerrado.

Deje que $f:X \to Y$ ser un mapa de los esquemas noetherianos, así que en particular un mapa de los espacios topológicos noetherianos equipados con la topología Zariski. ¿"Cerrado localmente" implica "cerrado" en este caso?

(En realidad, quiero comprobar si $f$ es una inmersión cerrada y sé que es "localmente" (en el sentido anterior) una inmersión cerrada).

Answer 1

Si $X$ es cuasi-compacto (por ejemplo, el espacio subyacente de un esquema noetheriano), entonces $\{V_i\}$ tiene una subcubierta finita, y sustituyéndola por tal, podemos suponer que es una cubierta finita. Si $Z$ es cualquier subconjunto cerrado de $X$ entonces $Z = \bigcup_i (Z\cap V_i)$ Así que $f(Z) = \bigcup_i f(Z\cap V_i)$ es la unión finita de conjuntos cerrados (utilizando que $Z\cap V_i$ está cerrado en $V_i$ y $f_{| V_i}$ está cerrado). Así, $f$ está cerrado en este caso.

Sólo para dar un contraejemplo en el caso no cuasi compacto, dejemos que $Y$ sea cualquier espacio en el que los puntos son cerrados, y sea $X$ denotan el mismo conjunto subyacente que $Y$ pero con la topología discreta. Tomamos $f$ a la identidad $X \to Y$ . Si dejamos que $\{V_i\}$ denotan el conjunto de subconjuntos de $X$ entonces $f_{| V_i}$ es cerrado (ya que cada punto de $Y$ es cerrado por suposición), pero $f$ no suele estar cerrado. (Cualquier subconjunto $Z$ si $X$ está cerrado, pero a menos que $Y$ también es discreto, no todos los $Z$ se cerrará como un subconjunto de $Y$ .)