Encontrar un número racional que es simplemente normal relativamente primer bases

Question

Deje $n\ge 2\in\mathbb Z$. Supongamos que un base-$n$-decimal $(0.a_1a_2a_3\cdots)_n$ es $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{n^k}$ donde $a_{i}\in\{0,1,\cdots,n-1\}\ (i=1,2,\cdots)$ es cada uno de los dígitos del número. Ahora, cuando se representa un número racional $0\lt p\lt 1$ base$n$-decimal $(0.a_1a_2a_3\cdots)_n$, vamos a considerar la siguiente condición.

Condición : Para cada $0\le k\le n-1$, $$\lim_{N\to\infty}\frac{|\{i|1\le i\le N,a_{i}=k\}|}{N}=\frac 1n.$$

He estado interesado en encontrar un número racional $0\lt p\lt 1$ que se cumple la condición para que un $n$. Por ejemplo, podemos ver $p=2/3$ cumple la condición para $n=2$ porque es $(0.\overline{10})_2$. Sin embargo, la búsqueda de una $p$ que se cumple la condición para que dos o más $n$ le parece difícil. Podemos ver $p=21/26$ cumple la condición para $n=2,3$ porque es $(0.1\overline{100111011000})_2$ $(0.\overline{210})_3.$ sin Embargo, no puedo encontrar ninguna $p$ dos $n$ otros de $n=2,3$.

Entonces, aquí está mi primera pregunta.

Pregunta 1 : ¿existe un número racional $0\lt p\lt 1$ que se cumple la condición para que dos $n$ otros de $n=2,3$, donde los dos se $n$ son relativamente primos?

En adición a esto, las siguientes preguntas que parecen muy difíciles.

Pregunta 2 : ¿existe un número racional $0\lt p\lt 1$ que se cumple la condición para que tres $n$ donde dos de los tres $n$ son relativamente primos?

Pregunta 3 : ¿existen infinitos números racionales $0\lt p\lt 1$ que satisfacen la condición para que dos $n$, donde los dos se $n$ son relativamente primos? Cómo sobre los casos de tres o más $n$?

Alguien puede ayudar?

Edit : Como usuario level1807, que resolvió la pregunta 1 y 2, señala que esta es la pregunta sobre el número que es simplemente normal relativamente primer bases. Así, la pregunta 3, que todavía no ha sido resuelto, se puede decir que la

Pregunta 3 : ¿existen infinitos números racionales $0\lt p\lt 1$, que es simplemente normal a dos primos relativos bases? Cómo sobre los casos de tres o más bases?

Actualización : me crossposted a MO.

Answer 1

Básicamente, vamos a $S$ ser el conjunto de todas las permutaciones de $\{0,1,\ldots,n-1\}$. A continuación, para cada una de las $p\in S$ poner

$$x=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{n^{m n}} \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i}{n^i}.$$

Consigue $n!$ números racionales que tiene la propiedad deseada.Por ejemplo, para $n=4$, son

$$\frac{9}{85},\frac{2}{17},\frac{13}{85},\frac{3}{17},\frac{18}{85},\frac{19}{85},\frac{5}{17},\frac{26}{85},\frac{33}{85},\frac{36}{85},\frac{38}{85},\frac{8}{17},\frac{9}{17},\frac{47}{85},\frac{49}{85},\frac{52}{85},\frac{59}{85},\frac{12}{17},\frac{66}{85},\frac{67}{85},\frac{14}{17},\frac{72}{85},\frac{15}{17},\frac{76}{85}$$

Creo que esta puede ser fácilmente modificado por la construcción de secuencias de $2n$, $3n$ etc. los dígitos. Ya hay nuevo "equi-distribución" de los períodos de duración $kn$ en comparación con $(k-1)n$ por cada $k$, hay un número infinito de tales números para cada una de las $n$. Y, por supuesto, la adición de algunos dígitos al azar antes de que el periódico la parte no va a cambiar nada.

Edit: he aquí una fórmula para períodos de duración $Mn$. De nuevo, $p\in S$ $S$ es el conjunto de todas las permutaciones de $M n$ dígitos ($M$ copias de cada dígito, $p=\{p_1,\ldots,p_{Mn}\}$).

$$x=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{n^{M m n}} \sum_{i=1}^{Mn} \frac{p_i}{n^i}.$$ Para $n=2$ $M=6$ uno de los $924$ los números dados por esta fórmula es$\frac{8}{26}$,$\frac{21}{26}-\frac{1}{2}$.

Edit2: bueno, ejecutando una simple búsqueda en Mathematica he sido capaz de encontrar un montón de ejemplos de números con el uniforme de dígitos de las distribuciones de $n=2$ $n=5$ simultáneamente. Por ejemplo, $1/66$ es la "más simple": $$\frac{1}{66}=0.\overline{1111100000}_2 2^{-6}=0.\overline{0014213324}_5.$$ Otro de los ejemplos se $19/679$ $n=3,4$; $9/142$ para $n=5,7$. Por razones misteriosas, no hay ninguna racionales con denominadores hasta el $2000$ que cumplen con el criterio de $n=4,5$. El primero (con el menor denominador) número que cumple con el criterio de tres bases de $n=2,3,5$$809/2046$: $$\frac{809}{2046}=0.0\overline{1100101001}_2=0.1\overline{012000202022100112121102121012}_3=0.\overline{144203101322123012334420003441}_5.$$ La siguiente, $n=2,3,5$ $1237/2046$ (no es de extrañar, ya que estos dos se resumen a 1). Yo conjetura de que esta lista es infinita así (incluso después de tirar con idénticos no periódica parte).