Polígono escrito como intersección de triángulos

Question

Por favor me ayude con una referencia o una prueba para los siguientes:

Encontrar $n$ de manera tal que cualquier polígono convexo con $100$ lados puede ser obtenido como una intersección de $n$ triángulos.

En primer lugar, $n \geq 34 $ ya que si el polígono es la intersección de a $n$ triángulos, cada uno de los $100$ de los lados del polígono debe estar contenida en al menos uno de los triángulos, por lo tanto,$3n \geq 100$. Ahora, debo demostrar que $n=34$, es decir, cualquier polígono con 100 partes pueden ser obtenidos de intersección $34$ triángulos. Estos triángulos deben ser formados por la extensión de algunos de los lados del polígono. El único problema sería que no es posible que los tres lados de un polígono que forma un triángulo que no contiene el polígono, o no forman un triángulo en todo (si dos lados son paralelos).

Por favor me ayude con una referencia o prueba. Gracias.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que $n \ge 50$.

Lugar de 100 puntos equidistantes a lo largo de la mitad de un círculo, y sacar los acordes entre cada par adyacente de los puntos así como los dos extremos. Ahora tiene un 100-gon con uno de los lados largos y 99 corto.

Si no me equivoco, no hay manera de que los lados de cualquier triángulo para que coincida con más de dos de los lados cortos. Por lo tanto, esta 100-gon no se obtiene como la intersección de menos de $\left\lceil \frac{99}{2} \right\rceil = 50$ triángulos.

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Edit: también Es fácil ver que $n = 50$ es suficiente para cualquiera limitada convexo 100-gon: Divida a los bordes de 50 pares de lados adyacentes, y para cada par de extender los lados en los rayos a partir de su punto final común.

Por convexidad, estos rayos no se cruzan en el interior de la 100-gon; y por el acotamiento, uno puede elegir un punto en cada rayo tal que la línea que une a ellos no cruzan el 100-gon. Estos dos puntos y el punto final común de los rayos definir un triángulo que encierra el 100-gon, y la intersección de los 50 triángulos obtenidos por hacer lo mismo para cada uno de los pares de aristas será exactamente el original 100-gon.