Encontrar un vector de un ortonormales base después de que el uso de gram-schmidt.

Question

Así que empecé con una base para $P_3$ (polinomio de grado menor que 3). $$\{1,x,x^2\}$$ que tiene producto interior definir como $$\langle p,q \rangle=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$

Para este producto me encontré con una base ortonormales, $U$ como sigue: $$u_1=\frac{1}{||1||}=\frac{1}{\sqrt{\langle1,1\rangle}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$u_2=\frac{x-p_1}{||x-p_1||} \quad\quad p_1=\langle x,u_1 \rangle u_1$$ $$u_2=\frac{x}{\sqrt2}$$ $$u_3=\frac{x^2-p_2}{||x^2-p_2||} \quad\quad p_2=\langle x^2,u_1 \rangle u_1 + \langle x^2,u_2 \rangle u_2=\frac{2}{3}$$ $$u_3=\frac{x^2-\frac{2}{3}}{||x^2-\frac{2}{3}||}$$ $$u_3=\sqrt\frac{3}{2}x^2-\sqrt\frac{2}{3}$$

Por lo tanto, la base ortonormales es $$U=\left\{ \frac{1}{\sqrt3},\frac{x}{\sqrt2},\sqrt\frac{3}{2}x^2-\sqrt\frac{2}{3} \right\}$$

Ahora tengo a la multa que el polinomio $1+x+x^2$ en esta nueva base, y aquí es donde tengo problemas. Me puede conseguir fácilmente en $\{\sqrt3, \sqrt2, \dots\}$, pero ¿cómo puedo obtener el último vector?

Deje que el escalar a ser multiplicado con ser $z$. A continuación, presumiblemente $$z\left(\sqrt\frac{3}{2}x^2-\sqrt\frac{2}{3}\right)=x^2$$

Pero esto significa que $z$ no es un escalar, pero es una función de $x^2$, por lo que definitivamente estoy haciendo algo mal pero no sé qué.

Answer 1

Para verificar su resultado, yo solo calculado $\langle 1,1\rangle=3$, $\ \langle 1,x\rangle=0=\langle x^2,x\rangle\ $ y $\ \langle x^2,1\rangle=2$.
Así que, los dos primeros vectores de la base son de hecho los múltiplos de $1$ $x$ ya que son 'ortogonales entre sí, y $(x^2-2/3)$ es "ortogonal" para ambos $1$$x$.

Ahora respondiendo a tu pregunta, hay más formas de escribir $1+x+x^2$ en esta nueva base. Inicio de la más alta plazo: el coeficiente de $x^2$ sólo puede llegar de $u_3$, y por lo tanto debe ser $\sqrt{2/3}$. Se puede realizar a partir de aquí?

Alternativamente, como estamos hablando de ortonormales base, el $i$th coordenadas de cualquier elemento $v$ será exactamente $\langle v,u_i\rangle$ w.r.t. base $u_1,u_2,\dots$.
Lo uso para $v=1+x+x^2$.