¿Cómo resolver este parcial fracción de descomposición?

Question

Por favor ayudarme a resolver el siguiente parcial fracción de descomposición: $$\frac{1-v^2}{v+v^3} = \frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{1+v^2}$$

Answer 1

El método habitual consiste en multiplicar ambos lados de esta ecuación por $v+v^3$:

$$\begin{align}\frac{1-v^2}{v+v^3} &= \frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{1+v^2}\\ 1-v^2 &= A(1+v^2) + (Bv+C)(v)\\ 1-v^2 &= Av^2 + A + Bv^2 + Cv\\ -v^2 + 0v + 1 &= (A+B)v^2 + Cv + A \end{align}$$

En este punto, usted puede igualar los coeficientes de los dos lados. Puesto que el $v^2$ coeficientes deben coincidir, tenemos $-1=A+B$. Puesto que el $v$ coeficientes deben coincidir, tenemos $0=C$, y dado que los términos constantes deben coincidir, tenemos $1=A$.

¿Ve usted cómo está funcionando?

Answer 2

Multiplicar por $v $ para obtener

$$\frac {1-v^2}{1+v^2}=A+\frac{Bv^2+Cv}{1+v^2} $$

y, a continuación, reemplace $v $$0$, para obtener

$$1=A $$

luego se multiplica por $1+v^2$ obtener

$$\frac {1-v^2}{v}=\frac {A(1+v^2)}{v}+Bv+C $$ y reemplace $v $ por el complejo de número de $i $, para encontrar

$$\frac {2}{i}=Bi+C=-2i $$ así

$$B=-2 \;\;,\;C=0$$

Answer 3

Desea encontrar los valores de $A$, $B$, y $C$, de modo que $$\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{1+v^2}=\frac{1-v^2}{v+v^3}$$ o $$A(1+v^2)+Bv^2+Cv=1-v^2$$ En primer lugar, empezar por la creación de $v=0$. Entonces podemos ver que $$A(1+0)+B(0)+C(0)=1-(0)$$ $$A=1$$ Ahora tenemos $$1(1+v^2)+Bv^2+Cv=1-v^2$$ $$Bv^2+Cv=-2v^2$$ $$Bv+C=-2v$$ De nuevo, cuando dejamos $v=0$, vemos que $$B(0)+C=-2(0)$$ $$C=0$$ Y luego, por supuesto, podemos ver que $B=-2$ desde $C=0$. Tu respuesta final debe ser $$\frac{1}{v}-\frac{2v}{1+v^2}=\frac{1-v^2}{v+v^3}$$

Answer 4

Si usted juega en torno a arriba - abajo y te vas a encontrar:

\begin{align*} \frac{1-v^2}{v + v^3} & = \frac{1-v^2 + v^2 - v^2}{v \, (1+v^2)} \\ & = \frac{1+v^2}{v(1+v^2)} + \frac{-2v^2}{v (1+v^2)} \\ & = \frac{1}{v} - \frac{2 v}{1+v^2} \end{align*}

Answer 5

$\begin{cases} \displaystyle f(v)=\frac{1-v^2}{v+v^3}\\ \displaystyle g(v)=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{1+v^2}\end{casos}$

Con muchos parciales simples fracciones donde no hay demasiado coeficientes, por lo general es posible evaluar estos coeficientes conectando algunos eligen bien los valores de $v$ incluyendo los equivalentes en los polos y/o en el infinito , porque aportan información valiosa.

• En el barrio de $0$ tenemos $f(v)\sim \frac 1v$$g(v)\sim \frac Av$$A=1$.
• en el infinito tenemos $f(v)\sim -\frac 1v$$g(v)\sim \frac Av+\frac Bv$$B=-2$.
• Finalmente, $f(1)=0$ $g(1)=A+\frac{B+C}2=1-1+\frac C2$ $C=0$