Limitar el método de evaluación de la incongruencia?

Question

Estoy teniendo problemas para entender lo que realmente sucede cuando se trate de evaluar el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado.

Por ejemplo, si tenemos lim x-->2 $\frac{x^2 + x -6}{(x-2)}$, no puede simplemente enchufe en 2 y evaluar que debido a que f(x) no está definida cuando x=2. Así que nos factor en el numerador y encontrar que lim x-->2 $\frac{x^2 + x -6}{(x-2)} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)}$

Aquí es donde parece haber una incoherencia tan lejos de entender lo que está pasando. Estamos ok con la cancelación de la (x+2) términos, porque no estamos diciendo que x=2, estamos diciendo que x se aproxima a 2, entonces (x-2) en el denominador =/= 0 y podemos simplificar.

Sin embargo, parece que acabamos de enchufe de 2 a (x+3) y decir que lim x-->2 $\frac{x^2 + x -6}{(x-2)} = 5$.

Eso es muy confuso para mí, porque pasamos de no aceptar con enchufar el valor 2, en lugar de imaginar que nos vamos acercando más y más cerca de ambos extremos, a sólo enchufar 2 y diciendo: (2+3) = 5.

Entiendo que no hay problema con el uso de 2 una vez que nos hemos librado de (x-2) en el denominador, pero ¿qué pasó con sólo acercarse a x?

Answer 1

Si la función es continua en el valor del límite es el valor de la función; de modo, que sólo se pueden conectar en el valor. Cuando la función no es continua (o no definido aún), entonces tenemos que hacer algo más (como cancelar un factor).

Answer 2

Con los límites que nunca de que se trate con el comportamiento de la función en el punto límite, sólo el comportamiento de todo el punto límite.

Decimos que una función es continua en $x = a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Si una función no tiene esta propiedad ( $\lim_{x\to a} f(x) \neq f(a)$ ), entonces la función es discontinua en a $x=a$.

Su primera función $f(x) = \dfrac{x^2+x-6}{x-2}$ no es continua en a $x =2$ porque tiene una discontinuidad en $x = 2$. No podemos calcular el límite por medio de "enchufar" porque $\lim_{x\to a} f(z) \neq f(a)$. Por otro lado, $f(x) = x+3$ es continua, de modo que se puede afirmar que $\lim_{x\to 2} x+3 = 2+3 = 5$.

En muchos, pero no todos los casos, las discontinuidades surgir debido a una división por cero.

Para referencia, todas las funciones polinómicas son continuas. Funciones de la división de dos polinomios son continuos, donde el denominador no es cero. Usted puede utilizar este hecho para evaluar muchos de los límites conectando el valor en la ecuación.