¿Quién te dio el épsilon?

Question

¿Quién te dio el epsilon? es el título de un artículo de J. Grabiner sobre Cauchy de la década de 1980, y la respuesta implícita es "Cauchy". Por otro lado, el historiador I. Grattan-Guinness señala en su libro que "Weierstrass sin duda se veía a sí mismo como heredero de Cauchy en el análisis y así ayudó a crear la creencia de que los logros de Cauchy incluían ideas que en realidad eran suyas" (El desarrollo de las bases del análisis matemático desde Euler hasta Riemann, página 120). De hecho, al parecer Cauchy nunca dio una definición epsilon-delta de límite o continuidad. Su definición infinitesimal de continuidad ("un incremento infinitesimal $x$ siempre produce un incremento infinitesimal en $y$") se reproduce en varios estudios secundarios, por ejemplo en J. Gray (El fantasma de Platón, página 64). Entonces, la pregunta es, ¿quién te dio en realidad epsilon-delta: ¿Cauchy o Weierstrass? Se pide a los editores que se abstengan de respuestas basadas únicamente en opinión, sino que se basen en fuentes publicadas que respalden cualquiera de las dos opiniones. En particular, una fuente primaria en la que Cauchy dé una definición epsilon-delta de continuidad sería bienvenida.

Nota 1. El ejemplo de Grabiner citado por @Brian ilustra bien el problema. Cauchy usa ocasionalmente formas preliminares de argumentos epsilon, delta (notar la apertura "dejemos que delta, epsilon sean números muy pequeños" que ciertamente no aparecería en textos de cálculo hoy en día) en algunas de sus demostraciones, pero nunca dio una definición epsilon, delta. Este ejemplo sugiere que Cauchy nunca dio tal definición, ya que si lo hubiera hecho, es probable que Grabiner lo habría citado. La definición de continuidad de Cauchy es "un incremento infinitesimal en $x$ siempre produce un cambio infinitesimal en $y$". Esto se acerca más a la definición moderna infinitesimal de continuidad que a la definición moderna epsilon, delta; de hecho, se ve idéntico a la definición hiperreal moderna en el nivel sintáctico.

Answer 1

Fue Bernard Bolzano. Según Wikipedia, "En cálculo, la definición de límite (ε, δ)... es una formalización de la noción de límite. Fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817, seguida por una forma menos precisa por Augustin-Louis Cauchy".

Answer 2

De hecho, Grabiner cita un ejemplo del uso de Cauchy de la formulación de continuidad $\epsilon,\delta$ en una prueba. Copio el pasaje relevante del original, que se puede encontrar aquí bajo SEPTIÈME LEÇON:

THÉORÈME. — Si, la función $f(x)$ siendo continua entre los límites $x=x_0$, $x=X$, se denota por $A$ la más pequeña, y por $B$ la más grande de los valores que la función derivada $f\,'(x)$ recibe en este intervalo, el cociente de las diferencias finitas $$\frac{f(X)-f(x_0)}{X-x_0}$$ estará necesariamente entre $A$ y $B$.

Demonstración. — Designemos por $\delta,\epsilon$ dos números muy pequeños, eligiendo el primero de manera que, para valores numéricos de $i$ inferiores a $\delta$, y para un valor cualquiera de $x$ comprendido entre los límites $x_0,X$, el cociente $$\frac{f(x+i)-f(x)}i$$ siempre sea mayor que $f\,'(x)-\epsilon$ e inferior a $f\,'(x)+\epsilon$.

La prueba continúa por otras tres cuartas partes de página más o menos, pero claramente se trata de una formalización familiar.

Ella señala que él no incorporó este formalismo en su definición puramente verbal de límite, pero está claro en este ejemplo que lo tenía en mente.

Answer 3

Para complementar la respuesta reflexiva de Brian M. Scott, me gustaría presentar un punto de vista basado estrechamente en fuentes primarias en Cauchy, y específicamente en su Cours d'Analyse (1821). Un análisis de este libro sugiere una predominancia de un enfoque infinitesimal en los fundamentos de Cauchy para el análisis. Ya en la introducción, Cauchy afirma que encontró imposible presentar análisis sin infinitesimales. Procede a presentar dos definiciones de continuidad, ambas basadas en infinitesimales (y ninguna basada en epsilon, delta). Tras tales definiciones, Cauchy presenta una discusión detallada que incluye hasta ocho proposiciones separadas, analizando las propiedades de los infinitesimales, los diversos grados de infinitesimales, algunos teoremas de estructura para infinitesimales de forma polinómica con respecto a un infinitesimal base, etc.

En comparación, señale que la pieza clave de evidencia presentada por Brian (siguiendo a Grabiner) para un comienzo de un enfoque epsilon, delta está enterrada en la "lección 7" de un libro posterior; la técnica aparece en una discusión de la derivada en lugar de ser presentada como una definición; y además tales discusiones son comparativamente poco frecuentes en Cauchy en comparación con la predominancia de un enfoque que utiliza infinitesimales.

De hecho, incluso en 1853, en un artículo sobre una noción relacionada con la convergencia uniforme, Cauchy presenta nuevamente su definición infinitesimal de continuidad casi idéntica a la dada en 1821 (muchos trabajos intermedios presentan la misma definición, también).

También cabe destacar la definición de Cauchy de límite: 'Cuando los valores sucesivamente atribuidos a la misma variable se acercan indefinidamente a un valor fijo, de manera que finalmente difieren de él lo menos posible deseado, el último se llama el límite de todos los demás'. Como señala Grabiner, esto es muy similar a las definiciones que aparecen desde Leibniz en adelante. Hasta donde yo sé, no hay una definición de límite epsilon, delta en ningún lugar de Cauchy. Estos temas fueron estudiados en un texto reciente por Borovik y yo mismo aquí.

La evidencia sugiere que, si bien tanto (A) los inicios de argumentos epsilon, delta y (B) los fundamentos infinitesimales para el análisis están presentes en Cauchy, estos últimos predominan. Esto contrasta con lo que parece ser una opinión predominante en los libros de texto, así como en los trabajos históricos de Boyer, Grabiner y otros. Al leer estos últimos, nunca se hubiera imaginado que Cauchy hablara de infinitesimales. La evidencia sugiere además que, para seguir el comentario de Grattan-Guinness, los verdaderos comienzos de la influencia del enfoque epsilon, delta se encuentran en Weierstrass (siendo Bolzano no influyente en ningún sentido amplio, según la mayoría de los historiadores).