Suma de casi un clásico de la serie

Question

Suponiendo que sabemos que : $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\pi^2}{6}$$

¿Cómo encontrar la suma de una serie donde todos los términos están en esto ?

Por ejemplo, ¿cómo se puede demostrar que ?$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{(2n-1)^2}} = \frac{\pi^2}{8}$$

Answer 1

Observar que:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

y

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{24} $$

por lo tanto \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} & = & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} \\ & = & \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} \\ & = & \frac{\pi^2}{8} \end{eqnarray*}