No está vacío cerrado subconjunto convexo de un espacio de Banach contiene una bola abierta

Question

En un espacio de Banach $X$, me la construcción de un no-vacío, cerrado y convexo conjunto $A$. El conjunto $A$ satisface dos condiciones:

Si $x\in A$,$-x \in A$.

$\displaystyle{X=\bigcup_{n\geq1} nA}$

Entonces a mi intuición, me siento que $A$ contiene una bola abierta centrada en $0$. Para cada una de las $x\in X$, siempre podemos tener $x/n\in A$ algunos $n$. Entonces intuitivamente puedo tener muchos puntos agrupados en torno a $0$.

¿Cuál es la mejor manera de demostrar esto?

Answer 1

Supongamos que $A$ tiene un vacío interior $nA$ tiene un vacío interior, el teorema de Baire implica que $\bigcup_nnA=X$ tiene un vacío interior. Contradicción. Podemos deducir que hay una bola de $B(x,r)\subset A$, la imagen de $B(x,r)$ $i(x)=-x$ es el balón $B(-x,r)$, y está contenida en $A$ por hipótesis. Podemos deducir que por cada $y$ en el segmento de $[-x,x]$, $B(y,r)$ está contenida en $A$ y, en particular,$B(0,r)\subset A$.