Vamos a ABC ser un agudo ángulo del triángulo

Question

Vamos a ABC ser un agudo ángulo del triángulo; ANUNCIO de la bisectriz de ∠BAC con D en BC; de ESTAR a la altura de B en CA. Mostrar que ∠CED > 45°

Answer 1

Consideremos el triángulo $ABC$. Desde el triángulo es acutángulo, a la altura de $B$ necesariamente se cruza con $AC$ internamente, es decir, $E$ entre $A$$C$.

Deje que las longitudes y los ángulos del triángulo ser etiquetados de acuerdo a la figura anterior.

Desde el teorema de la bisectriz angular, tenemos $$\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$$ donde$m = |BD|$$n = |CD|$. Asimismo, a partir de la generalización de la angulares teorema de la bisectriz, tenemos $$\frac{h\sin\beta}{k\sin\alpha} = \frac{m}{n}$$ donde $h$ es la longitud de la altura de$B$$k=|CE|$. Tenga en cuenta que la reclamación $\alpha > 45^\circ$ es equivalente a $\alpha > \beta$ desde $\alpha + \beta = 90^\circ$. Por lo tanto la afirmación es verdadera si y sólo si $\alpha > \beta$ si y sólo si $\sin\alpha > \sin\beta$. Por lo tanto, el problema es equivalente a probar $$\frac{c}{b} = \frac{h\sin\beta}{k\sin\alpha} < \frac{h}{k}$$ Deje $hb = \Delta$ el valor del área del triángulo. Entonces, equivalentemente, $$k < \frac{\Delta}{c} = h_c$$ donde $h_c$ es la longitud de la altura de $c$. La desigualdad anterior es fácilmente visto para ser verdad. Considere la posibilidad de movimientos de balanceo de la longitud de la $CE$ $C$ para formar un círculo de radio $k$ centrada en $C$. A continuación, la línea de $BE$ es tangente al círculo en $E$ y separa claramente el círculo y el lado de la $AC$. El reclamo de la siguiente manera.