El uso de epsilon delta, probar la función max de funciones continuas f,g es también continua

Question

Primero de todo, yo sé que esta pregunta se ha hecho ya, pero estoy buscando una prueba simplemente utilizando la definición de continuidad ($\epsilon$, $\delta$)

Supongamos $f,g:D \to R$ se continua en $D$. Definir $h:D \to R$ $h(x)=$max{$f(x),g(x)$}. Espectáculo $h$ es continua en a $D$.

Así, debe haber dos casos. Deje $a$ ser fijo.

Caso 1: $\lvert f(a)-g(a) \rvert >0$

Caso 2: $f(a)=g(a)$

No estoy seguro de qué hacer desde aquí

Estoy teniendo problemas para comprender cómo llevar a cabo pruebas sobre funciones continuas. Si alguien me puede dar un poco de perspicacia, que sería muy apreciada.

Answer 1

El primer caso es fácil. Si $|f(a) - g(a)|>0$, entonces no es un pequeño barrio de $a$ donde esto siempre es cierto. Por lo tanto $h(x)$ es igual a $f$ o $g$ en este barrio y $h(x)$ es continua para $a$.

El segundo caso, si $f(a) = g(a)$ Deje $\epsilon >0$.

Desde $f$ es continua no es un $\delta_1 > 0$ tal que $|f(x) - f(a)|<\epsilon$ $|x - a|< \delta_1$

Desde $g$ es continua no es un $\delta_2 > 0$ tal que $|g(x) - g(a)|<\epsilon$ $|x - a|< \delta_2$

$$|h(x) - h(a)| = |\max\{f(x),g(x)\} - h(a)| \leq \max\{|f(x) - h(a)|,|g(x)-h(a)|\}$$ Desde $h(a) = f(a) = g(a)$ $$\max\{|f(x) - h(a)|,|g(x)-h(a)|\} = \max\{|f(x) - f(a)|,|g(x)-g(a)|\}$$ Deje $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ si $|x - a|<\delta$, luego $$|f(x) -f(a)|<\epsilon \qquad \text{and} \qquad |g(x) - g(a)|<\epsilon$$ entonces $$|h(x) - h(a)| \leq \max\{|f(x) - f(a)|,|g(x)-g(a)|\} < \epsilon$$

Answer 2

Fix$\varepsilon>0$$a\in D$. Para el $\varepsilon$ existe $\delta_1>0$ que si $|x-a|<\delta_1$ $$|f(x)-f(a)|<\varepsilon/2 \qquad \quad (1)$$ and a $\delta_2>0$ such that if $|x-a|<\delta_2$ then $$|g(x)-g(a)|<\varepsilon/2 \qquad \quad (2)$$ (because $f,g$ are continuous). Now, you must prove that, for the given $\varepsilon$, there exist a $\delta_3$ such that if $|x-a|<\delta_3$ then $|h(x)-h(a)|<\varepsilon$. It may be helpful to think that if $\delta_3 = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ and if $|x-a|<\delta_3$ then $(1)$ and $(2)$ holds (because in this case, $|x-a|<\delta_1$ and $|x-a|<\delta_2$). Pero

$$h(x) = \max\{f(x),g(x)\} \leq f(x)+g(x)$$

Trate de terminar la prueba ahora