La pregunta sobre cómo encontrar este límite particular..

Question

Encontrar el siguiente límite $$\lim_{x \to 0^-}\left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}-\dfrac{1}{x}\right)$$

Lo busqué por internet y la respuesta correcta es $-\infty$ pero no estoy seguro de cómo llegar a ella a través de LHopital??

Mi Intento
Como es un $0/0$ tipo de límite intenté usar LHopital;
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}-\dfrac{1}{x}\right)=\left(\dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x\sin(x)}\right)$$
y diferenciar obtenemos;
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\dfrac{-x\sin(x)}{x\cos(x)+\sin(x)}\right)$$
Este es todavía un $0/0$ tipo de límite... la diferenciación de más tampoco ayuda...

Cualquier consejo o ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Bully Taylor:

$$\begin{align} \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x} &= \frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}\\ &= \frac{x\left(1-\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)-\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)}{x\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)}\\ &= \frac{-\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^2\left(1-O(x^2)\right)}\\ &= -\frac{x}{3}\frac{1+O(x^2)}{1-O(x^2)}, \end{align}$$

y nos encontramos con el límite de $x\to 0$$0$, no $-\infty$.

Answer 2

desde su último paso, divide el numerador y el denominador por x, poner límite: en el numerador se convierte en 0, el denominador se convierte en 1(uso de fórmulas algebraicas de los límites), la respuesta es 0/1 =0

Answer 3

$$f(x):=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac1x=\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}\implies$$

$$\lim_{x\to 0^-}f(x)\stackrel{\text{l'Hospital}}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{\sin x+x\cos x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin x-x\cos x}{2\cos x-x\sin x}=\frac{0}{2-0}=0$$