Cuántos hexágonos pueden ser construidos uniendo los vértices de un 15 de lados del polígono si ninguno de los lados del hexágono es también el lado de la 15-gon.

Question

Cuántos hexágonos pueden ser construidos uniendo los vértices de un 15 de lados del polígono si ninguno de los lados del hexágono es también el lado de la 15-gon.

Mi intento

En primer lugar calcular de cuántas maneras se puede seleccionar 6 puntos de 15 puntos, a continuación, resta que tienen 1 lado mismo como el 15-gon, a continuación, 2,3....5 lados comunes.

Pero que es muy largo el enfoque .Cualquier método mejor.

Answer 1

Escribir $9$ $\times$'s, como este $$ \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times\qquad \times$$

Estos determinan $8$ lagunas, además de a $2$ "endgaps." Nos elija $6$ huecos para poner un $\circ$ a, o elegir uno de los dos endgaps, además de a $5$ real huecos para poner un $\circ$. Esto se puede hacer en $$\binom{8}{6}+2\binom{8}{5}$$ maneras.

Para hacer una verdadera hexágono inscrito en nuestra $15$-gon fuera de la estructura de $\circ$$\times$, tomar un fijo vértice de la $15$-gon, poner a la izquierda de nuestra $15$ "letras" en ella, y el resto hacia la izquierda a medida que nos desplazamos hacia la derecha. El $\circ$ serán los vértices del hexágono.

El método se generaliza a $k$-ágonos en $n$-ágonos.

Answer 2

Más generalmente, el dibujo de $n$-ágonos en un $k$-gon, pero no el uso de alguno de los originales lados,

supongamos que usted sabe que uno de los vértices: a continuación, es necesario dividir el $k$ lagunas en $n$ partes con cada parte, al menos,$2$, que es el mismo que dividir $k-n$ a $n$ partes con cada parte, al menos,$1$, y el uso de las estrellas y las barras, esto se puede hacer en $\displaystyle{k-n-1 \choose n-1}$ maneras.

Pero necesitamos ajustar nuestra respuesta por el hecho de que podríamos haber tenido cualquiera de $k$ original vértices, pero ajustando para ello podemos obtener cada una de las $n$-gon $n$ veces. Así que la respuesta es $$\frac{k}{n}{k-n-1 \choose n-1}$$ or here $\frac{15}{6}{8 \elegir 5}$. This is the same as André Nicolas's ${k-n-1 \elegir n}+ 2 {k-n-1 \elegir n-1}$.