Biyecciones especiales sobre $n$ elementos

Question

¿Existe alguna biyección $f$ en $n$ elementos s.t: $$f(1)=1$$ y
$$f(i)+j\neq f(j)+i\quad 1\leq i<j\leq n $$ ?

He descubierto que siempre es cierto para impar $n$ pero parece imposible cuando $n$ es un número par, pero aún no puedo demostrar esta conjetura. ¿Cuál es su opinión?

EDITAR: De hecho quiero una solución en $\mathbb I_n $ (o $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ) por lo que pido una biyección s.t: $$f(1)=1$$ y
$$f(i)+j\neq f(j)+i\pmod n \quad 1\leq i<j\leq n $$
¡Como un círculo!

Answer 1

parece imposible cuando $n$ es un número par, pero no puedo probar esta conjetura

Un contraejemplo para $n = 6$ es la permutación $ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 6 & 5 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} $ .

$f(k) - k$ toma los distintos valores $\{ 0, 2, 3, 1, -2, -4 \}$ así que $f(k) - k$ es inyectiva, por lo tanto

$$ f(i) - i \ne f(j) - j \;\;\;\;\; 1 \le i \lt j \le 6 $$

que es equivalente a la condición dada.

Answer 2

Publicar esto como una respuesta separada ya que el OP se convirtió en una pregunta muy diferente después de la última edición. De hecho, ahora se puede demostrar que la conjetura es cierta, incluso sin la hipótesis $f(1) = 1$ .

Lema 1. Si $n$ es un número entero par, entonces $\sum_{k=1}^{n} k \equiv \frac{n}{2} \pmod n$ .

Esto se deduce directamente de la fórmula de la suma $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{2} n + \frac{n}{2}\equiv \frac{n}{2} \pmod n$ .

Lema 2. Si $g(k)$ es una permutación de $\{1, 2, ... n\}$ entonces $\sum_{k=1}^{n} g(k) \equiv \frac{n}{2} \pmod n$ .

Esto se deduce directamente de Lema 1 desde $\{g(k)\;|\;1 \le k \le n \} = \{1, 2, ... n\}$ .

Supongamos ahora que una permutación $f$ con las propiedades indicadas. Para que se cumpla la condición $$g(k) = 1 + (f(k) - k \; \bmod n)$$ debe ser inyectiva, por lo tanto biyectiva. Pero $$\sum_{k=1}^{n} g(k) = n + \sum_{k=1}^{n}(f(k) - k) \; \bmod n = n$$

donde el segundo término se anula porque $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} k$ desde $f$ es una permutación.

Esto deja $\;\sum_{k=1}^{n} g(k) = n \not \equiv \frac{n}{2} \pmod n\;$ por lo que por la contrapositiva de Lema 2 $g$ no puede ser una biyección. Por lo tanto, una biyección $f$ no existe con las propiedades indicadas.