Mostrar que si $a,b \in \mathbb{N}$ tienen restos en el conjunto $\{1,4\}$ después de la división por $5$, entonces también lo hace su producto.

Question

a) Mostrar que si $a,b \in \mathbb{N}$ tienen restos en el conjunto ${1,4}$ después de la división por $5$, entonces también lo hace su producto.
b)Demostrar que existen infinitos números primos que tienen restos de $2$ o $3$ cuando se divide por $5$.

Sugerencia: Imitar a la prueba del Teorema de Euclides mediante la formación de un producto que involucran números primos (cada uno con el resto $1$ o $4$) y, posiblemente, algo más, de modo que cuando vamos a agregar, por ejemplo, $2$, obtenemos un número $N$ resto $2$ después de la división por $5$. A continuación, aplicar la parte a).

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Lo que he intentado:

Deje $a$ ser igual al producto de dos primos $p_1 \text{ and } p_2$, de tal manera que $p_1p_2$ es divisible por 5. Que es:
$a=p_1p_2$

Si añadimos $1$ a el lado derecho de la ecuación, vamos a conseguir que $a$ es divisible por $5$, con un resto de $1$:

$a=p_1p_2 + 1$

Del mismo modo, si dejamos $b$ igual al producto de dos primos con un resto de $4$, tenemos:

$b=p_3p_4 + 4$

Ahora supongamos que nos vamos a $c$ igual al producto de $a$$b$, obtenemos:

$c= p_1p_2p_3p_4 + 4p_1p_2 + p_4p_3 + 4$

Desde $5 \mid p_1p_2$$5 \mid p_3p_4$, sabemos que $5 \mid p_1p_2p_3p_4$.

Del mismo modo, sabemos que $5 \mid 4p_1p_2$ y que ya ha dado que $5 \mid p_3p_4$.

Puesto que todos los términos que son producto de los números primos son divisibles por $5$, nos hemos quedado con el resto de $4$, que es, de hecho, en el conjunto de $\{1,4\}$

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¿Esto tiene sentido? Estoy haciendo suposiciones aquí que no debería de ser?

Answer 1

$1^2\equiv4^2\equiv1 \pmod 5$

$1\times4\equiv4\times1\equiv4 \pmod 5$

Así que sí, el resto de los productos siempre es $1$ o $4$

Answer 2

Considere los siguientes casos:

• $[a\equiv1\pmod5]\wedge[b\equiv1\pmod5]\implies[a\cdot b\equiv1\cdot1\equiv1\pmod5]$
• $[a\equiv1\pmod5]\wedge[b\equiv4\pmod5]\implies[a\cdot b\equiv1\cdot4\equiv4\pmod5]$
• $[a\equiv4\pmod5]\wedge[b\equiv1\pmod5]\implies[a\cdot b\equiv4\cdot1\equiv4\pmod5]$
• $[a\equiv4\pmod5]\wedge[b\equiv4\pmod5]\implies[a\cdot b\equiv4\cdot4\equiv1\pmod5]$

Answer 3

a = cualquiera de 1,4 (mod 5). b= bien 1,4 (mod 5).

La multiplicación de ambas ecuaciones una.b = bien 1,4(mod 5) Debido a que el producto ha 1,4,6 en las unidades de lugar. 6 es de 1 en mod5. Y hay infinitos números primos terminan en 7, 3. Así que hay infinitos números primos dando resto 2,3 cuando se divide 5.

Answer 4

Las otras respuestas acuerdo con la parte (a) de la pregunta.

Creo que usted está tratando de hacer la parte (b) y a partir

Dejar que un ser igual al producto de dos primos $p_1$$p_2$, de tal manera que $p_1p_2$ es divisible por $5$.

Que no va a ser útil, ya que si un producto de dos números primos es divisible por $5$, entonces al menos uno de ellos debe ser en realidad $5$.

He aquí una manera de empezar (b).

Hay algunos primos con los restos de $2$ o $3$, por ejemplo, $2$, $3$ y $7$. Supongamos que hay sólo un número finito. Multiplicar todos ellos con la excepción de $2$ a juntar $N$. A continuación, $5N+2$ deja un resto de $2$ cuando se divide por $5$. A continuación, la parte (a) muestra que al menos uno de sus primos divisores es no congruentes a $1$ o $4$, por lo que debe ser congruente a $2$ o $3$. Ahora usted está casi hecho: mostrar que el primer no $2$ o $3$ o de cualquiera de los otros primos se utiliza para encontrar $N$. Debe ser otra que no cuentan en su supuesta lista limitada.

Answer 5

Usted está trabajando en modo de disco duro.

"Lo que he intentado:

Deje $a$ ser igual al producto de dos primos $p_1$$p_2$, de tal manera que $p_1p_2$ es divisible por $5$. Que es: $a=p_1p_2$"

para el producto de dos números primos para ser divisible por $5$, a continuación, uno de los primos deben ser $5$. Simplemente debería haber escrito "$a = 5p$".

"Si se añade 1 para el lado derecho de la ecuación, vamos a conseguir que a es divisible por 5, con un resto de 1"

:

"un=p1p2+1"

... o mucho más simple $a = 5p_1 + 1$.....

"Del mismo modo, si nos vamos a la b igual al producto de dos primos con un resto de 4

tenemos:

b=p3p4+4"

o, simplemente, $b = 5p_2 + 4$

"Ahora supongamos que nos vamos a c igual al producto de a y b

obtenemos:

c=p1p2p3p4+4p1p2+p4p3+4"

o, simplemente, $c = 25p_1p_2 + 5(p_1 + p_2) + 4$

"Desde el 5 de∣p1p2 y 5∣p3p4, sabemos que 5∣p1p2p3p4"

que va sin decir como dos de los números primos deben ser $5$

.

.

"Ya que todos los términos que son producto de los números primos son divisibles por 5 se queda con el resto de la 4, que es, de hecho, en el conjunto {1,4}"

Todo ese trabajo y que sólo han demostrado un caso. Lo que si ambos han resto $1$? Ambos han resto $4$. Lo que si $n = 5k + 1|4$ pero $k$ no es primo? De hecho, ¿qué diablos hacen los números primos tienen que ver con nada.

Mucho más simple:

Si $n$ resto $1$ o $4$$n = 5k + \{1,4\}$. Asimismo,$m = 5j + \{1,4\}$.

Por lo $n*m = 25jk + \{1,4\}5k + \{1,4\}5j + \{1*1, 1*4, 4*4=16=3*5 + 1\}$

$= 5*[5jk + \{1,4\}k + \{1,4\}j + \{0,3\}] + \{1,4\}$

Por lo $n*m$ resto $1$ o $4$.

Si esa notación es extraño que usted puede hacer en 3 casos:

$n = 5k+1; m=5j + 1; nm = 25jk + 5j + 5k + 1$:: $n=5k + 1; m= 5j + 4; nm = 25jk + 20k + 5j + 4$::$n=5k + 4; m = 5j + 4; nm = 25jk + 20j + 20k + 15 + 1$.

Estoy bastante seguro de que las sugerencias acerca de los números primos era sólo para la segunda parte.

Deje $p_1,p_2,..... p_n$ ser una lista finita de números primos que no contengan $2$ resto $2$ o $3$ cuando se divide por $5$. Deje $N =5*p_1......p_n +2$ cual es extraño; no es divisible por 5 o por 2; no es divisible por cualquier $p_i$, el resto ha $2$ cuando se divide por $5$.

Por lo $N$ no tiene resto $1$ $4$ y $a$ debe, por lo tanto, tienen un primer factor que tiene resto distinto de $1$ o $4$. Como la prime no es $5$ debe tener el resto de $2$ o $3$. Como no está en la lista y como no es $2$, que la lista debe haber sido incompleta.

Así que no hay finito lista mostrará la lista de todos los impares primos con los restos de $2$ o $3$ debe haber un número infinito de tales números primos.