Deje $(A,\mathfrak{m})$ ser un Artinian anillo local. Es cierto que la única primaria de ideales de a $A$ son los poderes de la $\mathfrak{m}$?
Yo no soy capaz de demostrar o refutar por contraejemplo. Me pueden ayudar?
Respuesta
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Cualquier correcta ideal en un local Artinian anillo primario, esto es debido a que el radical de un ideal es la intersección de los principales ideales que la contiene, pero en un Artinian anillo local, no es sólo un primer ideal, por lo que el radical de cada ideal es máxima, por lo tanto lo ideal es principal.
Una forma diferente de ver esto es el uso de otra caracterización de primaria ideales:
Ideal $I$ en un anillo de $A$ es el principal iff cada divisor de cero de a $A/I$ es nilpotent. Desde los cocientes de local Artinian anillos son de nuevo local Artinian, basta para mostrar que el local Artinian anillos tienen la propiedad de que cada divisor de cero es nilpotent.
Podemos mostrar aún más: cada unidad está contenida en la máxima ideal que es nilpotent porque el anillo es Artinian, de modo que cada elemento es una unidad o nilpotent.
Así que basta con dar un ejemplo de un local Artinian anillo con un ideal que no es el poder de un ideal maximal. Considere la posibilidad de $R=K[x,y]/(x^3,x^2y,y^2)$ para un campo $K$, este es un Artinian anillo local con el único primer ideal $(x,y)$. Tenemos $$(x,y)^2=(x^2,xy,y^2)=(x^2,xy)$$ $$(x,y)^3=(x^3,x^2y,xy^2,y^3)=0$$ Note that $(xy)$ no es igual a ninguno de los poderes de la máxima ideal.
