El valor de $|z|^2+|z−3|^2+|z−i|^2$ es mínima cuando el $z$ es igual?

Question

El valor de $|z|^2+|z−3|^2+|z−i|^2$ es mínima cuando el $z$ es igual?

Pensé que probablemente la circumcentre del triángulo formado por $0,i,3$ debe ser la respuesta en ese caso las distancias sería igual.Pero la respuesta es diferente.Es de todos modos hay que lógicamente deducir la respuesta en lugar del método genérico que los libros siguen (es decir, poner a $z=x+iy$ y luego de los mínimos).

Answer 1

Como @DeepSea mencionado, podemos pensar en este problema geométricamente. Dado $\bigtriangleup ABC$, con $A=(0,0)$, $B=(3,0)$, $C=(0,1)$, encontrar el punto de $P$ que minimiza $PA+PB+PC$.

Yo soy el primero en ir a proporcionar intuición física, y luego de una rigurosa prueba de por qué el punto de $P$ debe ser el centro de gravedad del triángulo.

Imagina tres Hookean springs, todos con resorte de constante de $1$. Conecte un extremo de cada primavera a cada vértice del triángulo. Tomar a los otros extremos de los resortes y attatch ellos en el mismo punto, $X$. En esta configuración, los vértices son fijos, pero el punto de $X$ es libre para moverse. La energía potencial de este sistema es proporcional a $XA^2+XB^2+XC^2$. Dado que la naturaleza tiende a minimizar la energía potencial, cuando este sistema viene a descansar, esta cantidad será mínimo. También sabemos que el sistema llegará a descansar cuando la fuerza neta es $0$. La fuerza neta para este sistema es proporcional al vector de $\vec{XA}+\vec{XB}+\vec{XC}$. Así, el sistema llegará a descansar al $\vec{XA}+\vec{XB}+\vec{XC}=0$. El único punto con esta propiedad si el centro de gravedad, o $G=\displaystyle\frac{A+B+C}{3}$.

Ahora, para una rigurosa prueba de este sitio: http://www.cut-the-knot.org/triangle/medians.shtml (esto es diferente de la de uno publicado por @ArkyaChatterjee en los comentarios)

Vamos a llamar el centroide $\displaystyle G=\frac{A+B+C}{3}$. Puede comprobarse que $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$. Tomar cualquier punto al azar, $X$: \begin{equation} \label{eq1} \begin{split} XA^2+XB^2+XC^2 & = \left|\vec{XA}\right|^2+\left|\vec{XB}\right|^2+\left|\vec{XC}\right|^2\\ & = \left|\vec{GX}+\vec{GA}\right|^2+\left|\vec{GX}+\vec{GB}\right|^2+\left|\vec{GX}+\vec{GC}\right|^2\\ &= 3\left|\vec{GX}\right|^2+\left|\vec{GA}\right|^2+\left|\vec{GB}\right|^2+\left|\vec{GC}\right|^2+2\vec{GX}\cdot\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right)\\ &= 3GX^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\vec{GX}\cdot0\\ &= 3GX^2+GA^2+GB^2+GC^2\\ & \geq GA^2+GB^2+GC^2 \end{split} \end{equation} (Aquí, el operador $\cdot$ representa interior del producto.)

En su caso particular, tenemos $\displaystyle z=\frac{0+3+i}{3}=1+\frac{i}{3}$.

Answer 2

Vamos a tratar de generalizar este problema. Supongamos que tenemos $n$ $z_1,\ldots,z_n$ en el plano complejo, y queremos encontrar el número complejo a$z$, lo que minimiza $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z-z_k|^2$.

Deje $\mu = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}z_k$ ser el centroide de los puntos de $z_1,\ldots,z_n$. A continuación,

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z-z_k|^2$ $= \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(z-z_k)(\overline{z}-\overline{z}_k)$ $= \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(z\overline{z} - z_k\overline{z} - z\overline{z}_k + z_k\overline{z}_k)$

$= nz\overline{z} - \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}z_k\right)\overline{z} - z\left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\overline{z}_k\right) + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}z_k\overline{z}_k\right)$ $= nz\overline{z} - n\mu\overline{z} - nz\overline{\mu} + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z_k|^2\right)$

$= nz\overline{z} - n\mu\overline{z} - nz\overline{\mu} + n\mu\overline{\mu} - n\mu\overline{\mu} + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z_k|^2\right)$ $= n(z-\mu)(\overline{z}-\overline{\mu}) - n\mu\overline{\mu} + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z_k|^2\right)$

$= n|z-\mu|^2 - n\mu\overline{\mu} + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z_k|^2\right)$

Claramente, $- n\mu\overline{\mu} + \left(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z_k|^2\right)$ es constante w.r.t. $z$ $n|z-\mu|^2$ se minimiza cuando se $z = \mu$. Por lo tanto, $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}|z-z_k|^2$ se minimiza cuando se $z = \mu = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}z_k$, es decir, cuando se $z$ es el centroide de $z_1,\ldots,z_n$.

Answer 3

La expresión puede ser visto como la suma de los cuadrados de las distancias de $P = (x,y)$ $3$vértices del triángulo $\triangle ABC$$A = (0,0), B = (3,0), C = (0,1)$. Esta suma se minimiza cuando se $P$ coincide con el centro de gravedad que es la intersección de las medianas.

Answer 4

Para elaborar @DeepSea la respuesta: teniendo en cuenta los puntos de $P_1, P_2, \ldots, P_k$ en el espacio euclidiano, vamos a $\bar P:=\frac1k(P_1 +\cdots+P_k)$ a la media de los puntos (es decir, su centro de gravedad). Para mostrar que $\bar P$ es el punto de $Q$ que minimiza la suma de cuadrados de distancias a los puntos de $P_1,\ldots,P_k$, tenga en cuenta que el cuadrado de la distancia de $Q$ $i$th punto es $$ \begin{align} |Q-P_i|^2&=|Q-\bar P + \bar P-P_i|^2\\ &=|Q-\bar P|^2+\langle Q-\bar P,\bar P-P_i\rangle +\langle\bar P-P_i,Q-\bar P\rangle+|\bar P-P_i|^2\tag1\end{align} $$ donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ denota el interior del producto y de la $|Q|^2=\langle Q,Q\rangle$. Cuando usted suma (1) a través de todos los $i$, el segundo término cae desde $$ \sum_i\langle Q-\bar P,\bar P-P_i\rangle=\langle Q-\bar P,\sum_i(\bar P-P_i)\rangle=\langle Q-\bar P,0\rangle=0. $$ Del mismo modo el tercer término en gotas, así que lo que queda es $$ \sum_i|Q-P_i|^2=\sum_i|Q-\bar P|^2+\sum_i|\bar P-P_i|^2.\tag2 $$ Desde el segundo término en el lado derecho de (2) es libre de $Q$, es claro que la suma de los cuadrados de las distancias se minimiza cuando se $Q=\bar P$.

Answer 5

• Al $\text{z}\in\mathbb{C}$, podemos escribir $z=a+bi$ donde$a=\Re[z]$$b=\Im[z]$: $$\text{Q}(a,b)=|z|^2+|z−3|^2+|z−i|^2=10+3a(4-2)+b(3b-2)$$

Para resolver el mínimo:

$$ \begin{cases} \frac{\partial\text{Q}(a,b)}{\partial a}=3(a-2)+3a\\ \frac{\partial\text{Q}(a,b)}{\partial b}=6b-2 \end{casos} $$

La solución de esto nos da $a=1$ $b=\frac{1}{3}$