¿Por qué no $S^n$ incrustar en $R^n$?

Question

Parece obviamente cierto, pero, ¿cómo demostrarlo? O ¿qué herramientas se utilizan? Sólo sé lo básico de homotopy la teoría y la homología.

¿Puedo usar la invariancia del dominio de alguna manera? Si $S^n$ incorpora, a continuación, lo hace de un barrio de en $R^{n+1}$?

Answer 1

Para agregar a Ted Shifrin de la pista, uno puede mostrar un mayor resultado a través de la invariancia del dominio teorema:

Si $M$ es un compacto $n$-colector y $N$ está conectado a un $n$-colector, a continuación, una incrustación $h : M \to N$ debe ser surjective, por lo tanto, un homeomorphism.

Este es el corolario 2B.4 en Hatcher Topología Algebraica. Para demostrarlo, tenga en cuenta que $h(M)$ debe ser cerrado desde $M$ es compacto y $N$ Hausdorff. $h(M)$ también está abierto por la invariancia de dominio. Desde $N$ está conectado, se deduce que el $h(M) = N$.

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A tu pregunta ahora sigue desde $S^n$ $\Bbb R^n$ no homeomórficos.

Answer 2

La imagen de $S^n$ tendría que ser compacta (como $S^n$ es compacto) y abierto, pero $\mathbb R^n$ está conectado y no compacto.