La solución fundamental para la ecuación de Helmholtz $(\Delta + k^2) u = -\delta$ $e^{i k r}/r$ en 3d y $H_0^1(kr)$ 2d (hasta la normalización de las constantes). Hay una expresión explícita (eventualmente en términos de funciones especiales) para la solución fundamental en la dimensión $\geq 4$? ¿Cómo se puede derivar de ella?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero vamos a suponer que el punto de origen se encuentra en $\vec r'=0$, $\vec r'\in\mathbb{R}^n$. Simetría esférica implica que el Verde (o "Verde") de la Función, $G(\vec r|\vec r'=0)$, para la Ecuación de Helmholtz puede ser escrito
$$\frac{\partial^2G}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\partial G}{\partial r}+k^2G=0\tag 1$$
para $\vec r\ne 0$.
ENCONTRAR UNA SOLUCIÓN GENERAL A $(1)$:
Hacer cumplir la sustitución de $G(\vec r|\vec r'=0)=r^{1-n/2}g(r)$ $(1)$ revela
$$r^2g''(r)+rg'(r)+\left((kr)^2-\left(\frac n2-1\right)^2\right)g(r)=0\tag 2$$
que es de Bessel de la Ecuación Diferencial (con el argumento de escala por $k$). Soluciones a $(2)$ son Funciones de Bessel de orden $n/2-1$ y el argumento de $kr$.
Por lo tanto, la solución general a $(1)$ puede ser escrito en términos de la primera y segunda especie funciones de Hankel como
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{G(\vec r|\vec r'=0)=Ar^{1-n/2}H^{(2)}_{n/2-1}(kr)+Br^{1-n/2}H^{(1)}_{n/2-1}(kr)}\tag 3$$
En orden para la Función de Green para representar una onda que viaja hacia el exterior, ya sea a $A=0$ o $B=0$. Si el tiempo convención es $e^{i\omega t}$ $\text{Im}(k)<0$ en un medio con pérdidas, a continuación,$B=0$. Si el tiempo convención es $e^{-i\omega t}$ $\text{Im}(k)>0$ en un medio con pérdidas, a continuación,$A=0$.
CÓMO DETERMINAR $B$:
Para encontrar $A$ o $B$, aplicamos la condición
$$\lim_{\epsilon\to 0}\oint_{r=\epsilon}\frac{\partial G}{\partial r}\,dS_{n-1}=-1\tag 4$$
donde la integración es sobre la superficie de la $n$-esfera de radio $\epsilon$. El área de la superficie de la $n$-esfera de radio $\epsilon$$S_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}\epsilon^{n-1}}{\Gamma(n/2)}$.
El uso de $(3)$ $A=0$ $(4)$ rendimientos
$$\lim_{\epsilon\to 0}\left(S_{n-1}B\left((1-n/2)\epsilon^{-n/2}H_{n/2-1}^{(1)}(k\epsilon)+k\epsilon^{1-n/2} H_{n/2-1}^{(1)'}(k\epsilon) \right)\right)=-1 \tag 5$$
BÚSQUEDA DE $B$ AL EVALUAR EL LÍMITE EN $(5)$:
Para evaluar $(5)$, utilizamos el pequeño argumento de la aproximación asintótica de la función de Hankel y sus derivados. Estos son
$$\begin{align}H_{n/2-1}^{(1)}(k\epsilon)&\sim -i \frac{\Gamma(n/2-1)}{\pi}\left(\frac{2}{k\epsilon}\right)^{n/2-1} \tag 6\\\\ H_{n/2-1}^{(1)'}(k\epsilon)&\sim i \frac{(n/2-1)\Gamma(n/2-1)}{2\pi}\left(\frac{2}{k\epsilon}\right)^{n/2} \tag 7 \end{align}$$
Poniendo juntos $(5)$, $(6)$, y $(7)$ nos encontramos con que
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{B=\frac i4\left(\frac{k}{2\pi}\right)^{n/2-1}}\tag 8$$
PONIENDO TODO JUNTO:
El uso de $(8)$ $(3)$ y ajuste de $A=0$, nos encontramos con que
$$G(\vec r|\vec r'=0)=\frac i4 \left(\frac{kr}{2\pi}\right)^{n/2-1}H_{n/2-1}^{(1)}(kr)$$
Finalmente, cambiando el punto de origen a $\vec r'$, obtenemos la Función de Green para la $n$-Dimensional de la Ecuación de Helmholtz
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{G(\vec r|\vec r')=\frac i4 \left(\frac{k}{2\pi |\vec r-\vec r'|}\right)^{n/2-1}H_{n/2-1}^{(1)}(k|\vec r-\vec r'|)}\tag 9$$
NOTAS:
Para $n=2$, podemos recuperar la familiarizado $2$-Dimensional de la Función de Green, $\frac i4 H_0^{(1)}(k|\vec r-\vec r'|)$,$(9)$.
Y para $n=3$, recordando que el $1/2$ fin de Hankel Función está relacionada con la Función de Bessel Esféricas, recuperamos el familiarizados $3$-Dimensional de la Función de Green $\frac{e^{-ik|\vec r-\vec r'|}}{4\pi|\vec r-\vec r'|}$$(9)$.
