La distribución de la suma de la función de dos variables aleatorias

Question

Deje $\{x_1, \ldots, x_n\}$ ser un conjunto de $n$ i.yo.d. muestras de una distribución $p(x)$. Me gustaría evaluar la distribución de la suma $$S = \sum_{1\leq i<j\leq n} f(x_i, x_j),$$ donde $f$ es una función continua.

El tamaño de la muestra $n$ es lo suficientemente grande que no puedo aproximar la distribución por simulación de Monte Carlo. El teorema del límite central no se puede aplicar porque los sumandos no son yo.yo.d.

Edit: La cuestión es distinta de Límite de una convolución y la suma de las funciones de distribución. La pregunta vinculada considera que el comportamiento de $P(S>x)$ en el límite de $x\rightarrow \infty$. Sin embargo, estoy de interés en el límite de $n\rightarrow\infty$ donde $n$ es el número de muestras.

Edit: tal vez añadiendo un poco de contexto va a hacer la pregunta más fácil de entender. Estoy considerando las tasas de interacción entre distintas entidades marcados por un índice de $i$. Un azar el atributo $x_i$ es asociado con cada entidad, y la tasa de interacción entre dos individuos $f(x_i, x_j)$ es una función de dichos atributos. Me gustaría para determinar la distribución de la tasa total de eventos $S$. Por el momento, estoy usando un simple forma funcional $f(x_i,x_j)=\exp(-a |x_i-x_j|)$.

Answer 1

Usted puede comenzar la determinación de algunos de los momentos de S:

$$E(S)={n \choose 2}E(f(x_1,x_2))$$

$$E(S^2)={n \choose 2}E(f(x_1,x_2)^2)+2{n \choose 3}(E(f(x_1,x_2)f(x_1,x_3))+E(f(x_1,x_2)f(x_2,x_3))+E(f(x_1,x_2)f(x_3,x_2)))+6{n \choose 4}E(f(x_1,x_2))^2$$

ya sea en general o algunas inicial de la forma más simple como $f(x_i,x_j)=x_i x_j^2$. Y luego apelar al teorema del límite central.

Answer 2

Respuesta

Después de leer un poco, resulta que la suma de $S$ es un grado-dos U-estadística. Su distribución asintótica en el límite de un gran $n$ es normal.

La media y la varianza de la distribución asintótica son $$\begin{align} \mathrm{E}(S)&=\tbinom n2 \mathrm{E}\left(f(x_1, x_2)\right)\\ \mathrm{var}(S)&=\frac{4}{n}\tbinom n2^2\mathrm{cov}\left(f(x_1, x_2), f(x_1, x_3)\right).\\ &=2(n-1)\mathrm{cov}\left(f(x_1, x_2), f(x_1, x_3)\right) \end{align}$$

De fondo

Normalidad asintótica fue probada por Hoeffding en la década de 1940 (ver el wiki-enlace de la referencia original). Elementos de Muestra Grande, la Teoría proporciona un buen tratamiento en el capítulo 6. Para un público de tratamiento disponibles (aunque no muy agradable), consulte el capítulo 10 de estas notas de la conferencia: Asintótica Herramientas.